Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Теорема Александрова про опуклі многогранники

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Remove ads

Теорема Александрова про опуклі многогранники — геометрична теорема про однозначність замкненого опуклого многогранника із заданими напрямами граней, доведена О. Д. Александровим у 1937 році[1][2][3]. Зазвичай її формулюють так:

Теорема Александрова про опуклі многогранники: Якщо між гранями двох замкнутих опуклих многогранників в тривимірному евклідовому просторі встановлено взаємно-однозначна відповідність так, що (i) одиничні нормалі до відповідних граней збігаються і (ii) жодну з граней не можна вмістити всередині відповідної до неї грані паралельним перенесенням, то многогранники можна отримати один з іншого паралельним перенесенням (і, зокрема, вони конгруентні).

Вкажемо ще одне формулювання, як легко бачити, еквівалентне попередньому. В ній функція називається монотонною функцією багатокутника , якщо вона має властивість: , якщо можна вмістити всередині .

Теорема Александрова про опуклі многогранники: Нехай і — замкнені опуклі многогранники в тривимірному евклідовому просторі з гранями і відповідно, причому для будь-якого виконані умови: (i) одиничні нормалі до граней і збігаються і (ii) існує монотонна функція така, що . Тоді многогранники і отримуються один з іншого паралельним перенесенням (і, зокрема, вони конгруентні).

Remove ads

Коментарі

  • Для тривимірного простору теорема Александрова про опуклі многогранники узагальнює теорему єдиності Мінковського, яка стверджує, що «два рівних многогранники з попарно паралельними й рівновеликими гранями рівні й паралельно розташовані». Справді, як монотонну функцію багатокутника тут досить узяти площу.
  • Твердження, що отримується з теореми Александрова про опуклі многогранники, якщо в ній як монотонну функцію багатокутника взяти периметр, цікаве тим, що вже понад 70 років геометри не можуть знайти відповідної теореми існування.
  • В евклідовому просторі вимірності 2 твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, істинне, але тривіальне.
  • В евклідовому просторі вимірності 4 (і в усіх більш високих вимірностях) твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, хибне. Як контрприклад можна взяти чотиривимірний куб з ребром 2 і чотиривимірний прямокутний паралелепіпед з ребрами 1, 1, 3, 3.
  • Про рівність багатовимірних опуклих многогранників при умові, що їхні паралельні двовимірні грані не вміщуються, див.[4].
Remove ads

Див. також

Примітки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads