Теорема Барбашина — Красовського

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.^[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським^[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм^[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка

Стан системи у фазовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (де ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) в час ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ даний точкою ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t))}$, де ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}(t)=f({\vec {x}}(t))}$, де ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ неперервна функція, ${\displaystyle f({\vec {x}}(t))={\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)}$. Систему можна коротко записати як ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})}$. Припустимо що ${\displaystyle {\vec {0}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ є точкою рівноваги системи, тобто ${\displaystyle f({\vec {0}})={\vec {0}}}$.

Теорема Барбашина — Красовського

Якщо існує додатно визначена^[en] нескінченно велика функція ${\displaystyle V({\vec {x}})}$ похідна від якої по часу ${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}}$ вздовж траєкторій системи ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})}$ є від'ємно-сталою (тобто ${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}\leq 0}$ повсюди), причому рівність ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}V({\vec {x}})=0}$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})}$ стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля

Нехай ${\displaystyle V({\vec {x}})}$ скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

1. ${\displaystyle V({\vec {x}})>0}$ коли ${\displaystyle {\vec {x}}\neq {\vec {0}}}$,
2. ${\displaystyle {\dot {V}}({\vec {x}})\leq 0}$ повсюди,
3. ${\displaystyle V({\vec {x}})\to \infty }$ з тим як ${\displaystyle ||{\vec {x}}||\to \infty }$.

Якщо рівність ${\displaystyle {\dot {V}}({\vec {x}})\equiv \nabla V\cdot f({\vec {x}})=0}$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь ${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=f({\vec {x}})}$ стійкий в цілому.

Див. також

• Функція Ляпунова
• Теорія стійкості