Теорема Віталі (комплексний аналіз)

Теорема Віталі — твердження у комплексному аналізі про властивості рівномірно обмеженої послідовності голоморфних функцій. Теорема названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі^{[1] [2]}.

Твердження теореми

Якщо послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}}$ голоморфних в області ${\displaystyle \Omega }$ є рівномірно обмежена на компактних підмножинах ${\displaystyle \Omega }$ і для всіх ${\displaystyle z,}$ що належить підмножині ${\displaystyle E\subset \Omega ,}$ що має граничну точку всередині ${\displaystyle \Omega }$ існує границя ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)}$ то ${\displaystyle f_{n}}$ є рівномірно збіжною на компактних підмножинах ${\displaystyle \Omega }$ до функції ${\displaystyle f,}$ що є голоморфною на ${\displaystyle \Omega .}$

Зауваження. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за ${\displaystyle \Omega }$ — бікруг із змінними ${\displaystyle z,w}$ і розглянути послідовність функцій ${\displaystyle f_{n}(z,w)=(-1)^{n}z^{n}.}$

Доведення

Припустимо, що послідовність ${\displaystyle f_{n}}$ не є збіжною в деякій точці ${\displaystyle z_{0}\in \Omega .}$ Тоді з послідовності чисел ${\displaystyle f_{n}(z_{0})}$ можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел ${\displaystyle w_{1}}$ і ${\displaystyle w_{2}.}$ Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ і ${\displaystyle f_{n_{l}}.}$

Послідовності ${\displaystyle f_{n_{k}}}$ і ${\displaystyle f_{n_{l}}}$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах ${\displaystyle \Omega }$ і тому, згідно теореми Монтеля з них можна виділити нові підпослідовності ${\displaystyle f_{n_{s}}}$ і ${\displaystyle f_{n_{t}},}$ що рівномірно на компактних підмножинах ${\displaystyle \Omega }$ збігаються до функцій ${\displaystyle f_{1}^{*}(z)}$ і ${\displaystyle f_{2}^{*}(z).}$ Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на ${\displaystyle \Omega }$. Оскільки ${\displaystyle \lim _{s\to \infty }f_{n_{s}}(z_{0})=w_{1}\neq w_{2}=\lim _{t\to \infty }f_{n_{t}}(z_{0})}$ то також ${\displaystyle f_{1}^{*}(z)\neq f_{2}^{*}(z).}$ Але послідовності ${\displaystyle f_{n_{s}}(z)}$ і ${\displaystyle f_{n_{t}}(z),}$ як підпослідовності з ${\displaystyle f_{n}(z),}$ збігаються на всіх точках ${\displaystyle z\in E}$ до однакових границь, тож ${\displaystyle f_{1}^{*}(z)=f_{2}^{*}(z)}$ для всіх ${\displaystyle z\in E.}$ Але ${\displaystyle E}$ має граничну точку всередині ${\displaystyle \Omega }$ і тому, згідно теореми про рівність ${\displaystyle f_{1}^{*}(z)=f_{2}^{*}(z).}$ Одержане протиріччя доводить, що послідовність ${\displaystyle f_{n}(z)}$ є збіжною в усій області ${\displaystyle \Omega .}$ Рівномірна збіжність ${\displaystyle f_{n}}$ на компактних підмножинах ${\displaystyle \Omega }$ випливає із теореми Монтеля.