Теорема Дворецького

Теоре́ма Дворе́цького — стверджує, що кожна центрально-симетрична опукла множина досить високої розмірності має перетин, близький до еліпсоїда.

Довів на початку 1960-х років Ар'я Дворецький^[1] як відповідь на питання Александра Гротендіка. У 1970-х роках Віталій Мільман знайшов альтернативне доведення^[2], яке стало однією з початкових точок для розвитку принципу концентрації міри та асимптотичного геометричного аналізу^[3] .

Формулювання

Для будь-якого натурального числа ${\displaystyle k}$ і кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке натуральне число ${\displaystyle K}$, що якщо ${\displaystyle (X,\|{*}\|)}$ — нормований простір розмірності ${\displaystyle K}$, то існує підпростір ${\displaystyle E\subset X}$ розмірності ${\displaystyle k}$ та додатна квадратична форма ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle E}$, така, що:

${\displaystyle \|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|}$

для будь-якого ${\displaystyle x\in E}$.