Теорема Лагранжа (теорія груп)

Теорема Лагранжа — твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|}$,

де ${\displaystyle |G:H|}$ позначає індекс групи ${\displaystyle G}$ по підгрупі ${\displaystyle H}$,тобто кількість класів суміжності ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle |G|}$, ${\displaystyle |H|}$ позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

Доведення

Нехай ${\displaystyle G}$ є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності ${\displaystyle \{gH\colon g\in G\}}$ групи ${\displaystyle G}$ щодо ${\displaystyle H}$. Ця множина розбиває групу ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle n=|G:H|}$ рівнопотужних множин: ${\displaystyle g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H}$.

Тобто

${\displaystyle G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \dots \cup g_{n}H}$,

і враховуючи відсутність перетину цих множин:

${\displaystyle |G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{n}H|}$,

і враховуючи їх рівнопотужність з ${\displaystyle H}$, остаточно отримуємо

${\displaystyle |G|=|H|+|H|+\dots +|H|=n|H|}$,

тобто:

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|}$.

Наслідки

1. Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ однакова і називається індексом підгрупи ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ (позначається ${\displaystyle [G:H]}$).^[1]
2. Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи ${\displaystyle G}$ є дільником порядку ${\displaystyle G.}$^[2]
3. Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи ${\displaystyle G}$ є дільником ${\displaystyle G}$. Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
4. Група порядку ${\displaystyle p}$, де ${\displaystyle p}$ — просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати ${\displaystyle 1}$, всі елементи, крім одиниці, мають порядок ${\displaystyle p}$, а отже, кожен з них породжує групу.)^[3]

Узагальнення

Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення: нехай ${\displaystyle G}$ є скінченною групою і маємо ${\displaystyle K\leqslant H\leqslant G}$, тоді

${\displaystyle |G:H|\cdot |H:K|=|G:K|}$.

Доведення

З теореми Лагранжа випливає:

${\displaystyle |G:H|\cdot |H|=|G|=|G:K|\cdot |K|}$ і також

${\displaystyle |H:K|\cdot |K|=|H|}$,

звідки

${\displaystyle |G:H|\cdot |H:K|={\frac {|G|}{|H|}}\cdot {\frac {|H|}{|K|}}={\frac {|G:K|\cdot |K|}{|K|}}=|G:K|}$.