Теорема Лакса — Мільграма

Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у теорії рівнянь в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.

Твердження

Нехай:

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ є гільбертовим простором зі скалярним добутком ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$ і асоційованою нормою ${\displaystyle \|\cdot \|;}$
• ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ є білінійною формою, що є

• неперервною в ${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}:}$ $${\displaystyle \exists M>0:\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq M\cdot \|u\|\cdot \|v\|;}$$
• коерцивною в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (іноді використовується термін ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-еліптичність): $${\displaystyle \exists m>0:\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq m\cdot \|u\|^{2};}$$

• ${\displaystyle \ell }$ є неперервною лінійною формою у ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Тоді існує єдиний елемент ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ такий що рівність ${\displaystyle a(x,y)=\ell (y)}$ виконується для всіх ${\displaystyle y\in {\mathcal {H}}:}$ $${\displaystyle \exists !x\in {\mathcal {H}}:\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\quad a(x,y)=\ell (y).}$$ причому ${\displaystyle \|x\|\leq {\frac {1}{m}}\cdot \|\ell \|_{\star }}$.

Доведення

Для довільного ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ відображення ${\displaystyle y\mapsto a(x,y)}$ — обмежений лінійний функціонал на ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$.

Тоді, за теоремою Ріса, існує єдиний ${\displaystyle z}$ з ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ такий, що ${\displaystyle a(x,y)=(z,y)}$. Будемо писати ${\displaystyle z=Ax.}$

${\displaystyle A}$ — обмежений лінійний оператор. Справді, лінійність: $${\displaystyle {\begin{aligned}(A(\lambda _{1}\cdot x_{1}+\lambda _{2}\cdot x_{2}),y)&=a(\lambda _{1}\cdot x_{1}+\lambda _{2}\cdot x_{2},y)=\\&=\lambda _{1}\cdot a(x_{1},y)+\lambda _{2}\cdot a(x_{2},y)=\\&=\lambda _{1}\cdot (Ax_{1},y)+\lambda _{2}\cdot (Ax_{2},y)=\\&=(\lambda _{1}\cdot Ax_{1}+\lambda _{2}\cdot Ax_{2},y),\end{aligned}}}$$ і обмеженість: $${\displaystyle \|Ax\|={\frac {\|Ax\|^{2}}{\|Ax\|}}={\frac {(Ax,Ax)}{\|Ax\|}}={\frac {a(x,Ax)}{\|Ax\|}}\leq {\frac {M\cdot \|x\|\cdot \|Ax\|}{\|Ax\|}}=M\cdot \|x\|.}$$

Із умови коерцивності випливає, що: $${\displaystyle \|x\|={\frac {m\cdot \|x\|^{2}}{m\cdot \|x\|}}\leq {\frac {a(x,x)}{m\cdot \|x\|}}={\frac {(Ax,x)}{m\cdot \|x\|}}\leq {\frac {\|Ax\|\cdot \|x\|}{m\cdot \|x\|}}={\frac {1}{m}}\cdot \|Ax\|.}$$

На основі цієї нерівності і лінійності випливає: $${\displaystyle \|Ax-Ay\|=\|A(x-y)\|\geq m\cdot \|x-y\|,}$$ зокрема ${\displaystyle Ax\neq Ay}$ при ${\displaystyle x\neq y.}$ Відповідно ${\displaystyle A}$ є ін'єктивним відображенням. Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора ${\displaystyle A}$ є замкнутим. Справді, якщо y належить замиканню образу оператора, то існує послідовність ${\displaystyle x_{n}\in {\mathcal {H}}}$ для якої ${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ у нормі гільбертового простору. Тоді ${\displaystyle Ax_{n}}$ є фундаментальною послідовністю і оскільки ${\displaystyle \|Ax_{k}-Ax_{n}\|\geq m\cdot \|x_{k}-y_{n}\|,}$ то ${\displaystyle x_{n}}$ теж є фундаментальною послідовністю. Із повноти гільбертового простору випливає, що ${\displaystyle x_{n}}$ збігається до деякого ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ і тоді ${\displaystyle y=Ax,}$ тобто ${\displaystyle y\in {\mathcal {H}}}$.

Ба більше, ${\displaystyle A}$ — сюр'єкція, бо інакше існував би елемент ${\displaystyle z}$ з ортогонального доповнення до (замкненого) образу ${\displaystyle A.}$ Щоб знайти такий елемент потрібно взяти довільний ${\displaystyle y\not \in Ax}$ і знайти ${\displaystyle y_{0}\in Ax,}$ що є найкращим наближенням до y на образі оператора A. Згідно теорії гільбертових просторів такий ${\displaystyle y_{0}}$ існує і єдиний, а ${\displaystyle z=y-y_{0}}$ є ортогональним до образу оператора A. Але тоді $${\displaystyle m\cdot \|z\|\leq a(z,z)=(Az,z)=0,}$$ протиріччя з ${\displaystyle m>0.}$

Нарешті, знову-ж таки з теореми Ріса, $${\displaystyle \forall \ell \in {\mathcal {H}}^{*}:\quad \exists !z\in {\mathcal {H}}:\quad \forall y\in {\mathcal {H}}:\quad \ell (y)=(z,y),}$$ але, завдяки бієктивності ${\displaystyle A}$, ми можемо знайти єдиний елемент ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ такий, що ${\displaystyle Ax=z}$, а тоді $${\displaystyle a(x,y)=(Ax,y)=(z,y)=\ell (y).}$$

Також згідно теореми Ріса при цьому ${\displaystyle \|\ell \|_{\star }=\|Ax\|}$ і також ${\displaystyle \|Ax\|\geq m\cdot \|x\|,}$ тому ${\displaystyle \|x\|\leq {\frac {1}{m}}\cdot \|\ell \|_{\star }}$.

Див. також

• Теорема Ріса

Література

• Савула Я.Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. - Львів: видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. ISBN 966-613-017-3