Теорема Ліндемана — Веєрштрасса

Теорема Ліндемана — Веєрштрасса, яка узагальнює теорему Ліндемана, доводить трансцендентність великого класу чисел. Теорема стверджує таке^[1]:

Якщо ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ — різні алгебричні числа, лінійно незалежні над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ є алгебрично незалежними над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, тобто, степінь трансцендентності розширення ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})}$ дорівнює ${\displaystyle n}$

Часто використовується еквівалентне формулювання^[2]:

Для будь-яких різних алгебричних чисел ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ числа ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ є лінійно незалежними над полем алгебричних чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$.

Історія

1882 року Ліндеман довів, що ${\displaystyle e^{\alpha }}$ трансцендентне для будь-якого ненульового алгебричного ${\displaystyle \alpha }$^[3], а 1885 року Карл Веєрштрасс довів загальніше твердження, наведене вище.

З теореми Ліндемана — Веєрштрасса легко випливає трансцендентність чисел e і π.

Доведення трансцендентності π

Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що число ${\displaystyle \pi }$ є алгебричним. Тоді число ${\displaystyle i\pi }$, де ${\displaystyle i}$ — уявна одиниця, також алгебричне, отже, за теоремою Ліндемана — Веєрштраса ${\displaystyle e^{i\pi }}$ трансцендентне, проте, згідно з тотожністю Ейлера, воно дорівнює алгебричному числу ${\displaystyle -1}$, що викликає суперечність. Отже, число ${\displaystyle \pi }$ трансцендентне.