Теорема Ліувілля про збереження фазового об'єму

Теорема Ліувілля — ключова теорема гамільтонової механіки і класичної статистичної фізики. Згідно з нею, функція розподілу (густина ймовірності) гамільтонової системи залишається сталою вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі, тобто, довільна область фазового простору зберігатиме свій об'єм при еволюції гамільтонової системи.

Об'єм області в фазовому просторі визначається, як

${\displaystyle \Gamma =\int \prod _{i}dq_{i}dp_{i}.}$

Еволюція системи задається рівняннями гамільтонової механіки. Тоді будь-яка довільно вибрана область в фазовому просторі буде змінюватися й деформуватися з часом, але згідно з теоремою Ліувілля зберігатиме свій об'єм.

Ця теорема має важливе значення для статистичної фізики.

Рівняння Ліувілля

Рівняння Ліувілля описує часову еволюцію функції розподілу у фазовому просторі. Хоча це рівняння носить ім'я Ліувілля, фактично його вперше опублікував Джозая Віллард Ґіббс у 1902 році^[1]. Але оскільки його виведення для неканонічних систем базується на тотожності, виведеній Ліувіллем у 1838 році^[2], то це рівняння носить ім'я Ліувілля.

Розглянемо гамільтонову дінамічну систему з канонічними координатами ${\displaystyle q_{i}}$ та спряженими імпульсами ${\displaystyle p_{i}}$, де i = 1, …, n. Тоді функція розподілу ${\displaystyle \rho (p,q)}$ визначає ймовірність ${\displaystyle \rho (p,q)d^{n}qd^{n}p}$ того, що система знаходиться у нескінченно малому об'ємі ${\displaystyle d^{n}qd^{n}p}$ фазового простору. Тоді рівняння Ліувілля визначатиме еволюцію функції розподілу ${\displaystyle \rho (p,q,t)}$ у момент часу t:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}{\Bigr )}=0.}$

Часові похідні, що позначені крапками, визначаються з рівнянь Гамільтона. Отже, отримане рівняння демонструє збереження густини у фазовому просторі. Теорема Ліувілля стверджує, що:

Функція розподілу залишається постійною вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі.

Простим доказом теореми слугує той факт, що функція розподілу ${\displaystyle \rho (p,q)}$ задовольняє рівняння неперервності:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}{\Bigr )}=0,}$

причому член,

${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}{\Bigr )}=\rho \sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {H}}}{\partial q_{i}p_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {H}}}{\partial p_{i}q_{i}}}{\Bigr )}=0,}$

якщо використати рівняння Гамільтона, тотожно дорівнює нулю (${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — функція Гамільтона).

Наслідком теореми Ліувілля є рівняння для функції густини станів у фазовому просторі.

Незмінність об'єму довільної області в фазовому просторі означає те, що незмінною залишається ймовірність знайти систему в цьому об'ємі

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=0}$,

де береться так звана повна похідна.

Однак сама область деформується й міняє форму. Якщо ж цікавитися фіксованим об'ємом, то з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші — виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до рівняння Ліувілля

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\rho ,H\}}$,

де H — функція Гамільтона, а {.,.} позначає дужку Пуассона.