Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел

Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо ${\displaystyle \alpha }$ — алгебричне число степеня ${\displaystyle n>1}$, а ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ — будь-які цілі числа ${\displaystyle (q\neq 0)}$, то виконується нерівність

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n}}}}$

де ${\displaystyle C}$ — додатна константа, що залежить тільки від ${\displaystyle \alpha }$ і виражається в явному вигляді через пов'язані з ${\displaystyle \alpha }$ величини.

За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад

${\displaystyle \xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!}}}.}$

Узагальнення

При ${\displaystyle n=2}$ теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для ${\displaystyle n\geq 3}$ теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.

1909 року Туе встановив, що для алгебричних чисел ${\displaystyle \alpha }$ степеня ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle \nu >{\frac {n}{2}}+1}$ виконується нерівність

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu }}}}$    (*)

Зігель поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при

${\displaystyle \nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s\right)}$, де ${\displaystyle s}$ — ціле, зокрема, при ${\displaystyle \nu >2{\sqrt {n}}}$. Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при ${\displaystyle \nu >{\sqrt {2n}}}$. Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому ${\displaystyle \nu >2}$. Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число ${\displaystyle \xi }$, алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень ${\displaystyle p/q}$, що задовольняють нерівності

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$.

Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, як саме стала ${\displaystyle C=C(\alpha ,\;\nu )}$ в нерівності залежить від величин ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \nu }$.

Див. також

• Число Ліувілля
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Ліувілля

Посилання

• Michael Filaseta. The Beginning of Numbers Transcendental