Теорема Скорохода про вкладення

У математиці, зокрема в теорії ймовірностей, під Теоремою Скорохода про вкладення розуміють одну з двох або обидві теореми, які дають можливість подати сукупність випадкових величин у формі Вінерівського процесу визначеного на сукупності марківських моментів часу. Обидві теореми названі на честь українського математика Анатолія Володимировича Скорохода.

Перша теорема Скорохода про вкладення

Нехай ${\displaystyle X}$ — дійсно-значна випадкова величина з математичним сподіванням рівним 0 і скінченною дисперсією; позначимо ${\displaystyle \displaystyle W}$ — стандартний дійснозначний Вінерівський процес (броунівський рух). Тоді існує марківський момент часу ${\displaystyle \displaystyle \tau }$ (відносно природної фільтрації породженої вінерівським процесом ${\displaystyle \displaystyle W}$), такий що ${\displaystyle \displaystyle W_{\tau }}$ має закон розподілу той самий, що і в.в. ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]=\mathbb {E} [X^{2}]}$,

а також

${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ^{2}]\leqslant 4\mathbb {E} [X^{4}].}$

Друга теорема Скорохода про вкладення

Нехай ${\displaystyle \displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ — послідовність незалежних однаково-розподілених випадкових величин, з нульовим математичним сподіванням і скінченною дисперсією, і нехай

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$

Тоді існує неспадна послідовність марківських моментів часу ${\displaystyle \displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\dots }$ така що ${\displaystyle \displaystyle W_{\tau _{n}}}$ має той самий сукупний розподіл що й частинні суми ${\displaystyle \displaystyle S_{n}}$ і ${\displaystyle \displaystyle \tau _{1},\tau _{2}-\tau _{1},\tau _{3}-\tau _{2},\dots }$ є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з наступною властивістю

${\displaystyle \mathbb {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\mathbb {E} [X_{1}^{2}]}$

і

${\displaystyle \mathbb {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\mathbb {E} [X_{1}^{4}].}$

Значення для фінансової математики і фінансів

Теореми Скорохода мають попереджувальний характер для моделювання фінансових даних. Конкретніше, якщо маємо деяку модель фінансових даних, що змодельована деяким процесом і далі для практичного застосування ми збираємо дані для цього процесу за деяким стохастичним принципом (наприклад трансакція за трансакцією), то як не дивно розподіл зібраних даних суттєво відрізняється від розподілу закладеного в моделі.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Анатолія Скорохода

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — Москва : Наука, 1965. — 567 с.(рос.)
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. (Theorems 37.6, 37.7)