Теорема Стюарта

Теорема Стюарта — метрична теорема в евклідової планіметрії.

Теорема Стюарта

Якщо точка D лежить на стороні BC трикутника ABC, то ${\displaystyle AD^{2}=b^{2}\,{\frac {x}{a}}+c^{2}\,{\frac {y}{a}}-xy,}$ де ${\displaystyle y=CD}$, і ${\displaystyle x=BD}$.

• Портал «Математика»

Доведення

На малюнку точка ${\displaystyle D}$ є точкою перетину ${\displaystyle p}$ з ${\displaystyle BC}$

${\displaystyle AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB}$

${\displaystyle AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos \angle ADC=AD^{2}+DC^{2}+2AD\cdot DC\cos \angle ADB}$

Помноживши перше рівняння на ${\displaystyle DC}$ ,а друге - на ${\displaystyle BD}$ ,отримаємо:

${\displaystyle AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB}$

${\displaystyle AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB}$

Складемо рівняння:

${\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD=BD^{2}DC+AD^{2}DC+AD^{2}BD+DC^{2}BD}$

${\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD}$

${\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)}$

${\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BD+DC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BD+DC}}-BD\cdot DC}$

Або :

${\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BC}}-BD\cdot DC}$

Історія

Теорема названа по імені її сформулював і довів англійського математика М. Стюарта (Stewart Matthew: 1717, Ротсей, Шотландія — 1785, Единбург) і опублікував її в праці «Деякі загальні теореми» (1746, Единбург). Теорему повідомив Стюарту його вчитель Роберт Сімсон, який опублікував цю теорему лише в 1749 р.

Застосування

Теорему можна використовувати для знаходження медіан и бісектрис трикутників.

Наслідком теореми Стюарта є теорема Птолемея.

Теорема, обернена до теореми Стюарта, не вірна^[1].

Див. також

• Математика