Теорема Тевенена

Теорема Тевенена (теорема Тевеніна, теорема Тевеніна — Гельмгольца^[1]) — твердження про те, що будь-яке джерело можна еквівалентно замінити послідовно з'єднаними ідеальним джерелом напруги та внутрішнім опором; двоїсте твердження до теореми Нортона^[en] про еквівалентну заміну довільного кола на паралельно з'єднані ідеальне джерело струму та внутрішній опір.

Будь-яке електричне коло електрично еквівалентне ідеальному джерелу напруги з увімкненим послідовно з ним резистором.

Вперше сформулював Герман фон Гельмгольц 1853 року і, незалежно від нього, французький інженер-електрик Леон Шарль Тевенен 1883 року^[2].

Формулювання

Для лінійних електричних кіл теорема стверджує, що будь-яке електричне коло, що має два виводи і складається з довільної комбінації джерел напруги, джерел струму і резисторів (опорів), електрично для цих двох виводів еквівалентне колу з одним ідеальним джерелом напруги з ЕРС ${\displaystyle V}$ та одним резистором ${\displaystyle R}$, з'єднаним послідовно із цим джерелом напруги.

Інакше кажучи, струм у будь-якому опорі ${\displaystyle Z_{n}}$, приєднаному до одного з вибраних кіл, дорівнює струму в цьому самому опорі ${\displaystyle Z_{n}}$, приєднаному до ідеального джерела напруги з напругою, що дорівнює напрузі холостого ходу кола (напрузі на цих затискачах коли до них нічого не підключено), і внутрішнім опором ${\displaystyle Z_{i}}$, рівним повному опору зовнішнього кола, визначеному з боку затискачів ${\displaystyle Z_{n}}$ за умови, що всі джерела всередині ланцюга замінено повними опорами, рівними повним внутрішнім опорам цих джерел.

Тобто, експериментально, параметри еквівалентної заміни «чорної скриньки» з двома виводами визначаються з двох вимірів — досліду холостого ходу та досліду короткого замикання. Нехай напруга на затискачах (виводах) за холостого ходу буде ${\displaystyle V,}$ а струм короткого замикання цих затискачів ${\displaystyle I,}$ тоді:

${\displaystyle V_{th}=V}$ і ${\displaystyle R_{th}=V/I}$

де ${\displaystyle V_{th}}$ — ЕРС ідеального джерела напруги в еквівалентній заміні,

${\displaystyle R_{th}}$ — опір резистора, увімкненого послідовно з джерелом у еквівалентній заміні.

Якщо відома структура та параметри деякого кола, формально можна обчислити параметри еквівалентної заміни. При цьому для визначення еквівалентного опору всі ідеальні джерела напруги, що входять у коло, подумки закорочуються і обчислюється опір отриманого кола між затискачами, що розглядаються. Далі, користуючись, наприклад, правилами Кірхгофа обчислюється напруга на затискачах. Отримані опір та напруга якраз і будуть параметрами еквівалентної заміни.

Теорема також застосовна для ланцюгів синусоїдального змінного струму в усталеному режимі, але при цьому враховуються не активні опори, струми і напруги, а, відповідно, імпеданси і комплексні амплітуди струмів і напруг.

Обчислення параметрів еквівалентного джерела

1. ЕРС еквівалентного джерела обчислюють у режимі холостого ходу, тобто знаходять напругу між точками А і В без підключеного навантаження.

2. Внутрішній опір еквівалентного джерела можна визначити двома способами.

2.1. Усі джерела ЕРС у колі замінюють закороченням, усі джерела струму — розривом кола. Знаходять опір кола між точками А і В. Цей опір дорівнюватиме внутрішньому опору еквівалентного джерела.

2.2. Точки А та В закорочують і знаходять струм короткого замикання. Внутрішній опір еквівалентного джерела обчислюють як відношення ЕРС, знайденої в п. 1 до струму короткого замикання.

Приклад обчислення параметрів еквівалентної заміни

1. Початкове електричне коло
2. Обчислення еквівалентної ЕРС
3. Обчислення опору еквівалентного резистора - джерело напруги подумки закорочено
4. Результат еквівалентної заміни

Обчислення еквівалентної напруги (ЕРС) — напруга, що знімається з резистивного подільника напруги, складеного з опорів ${\displaystyle R_{4},R_{3},R_{2}}$, оскільки розраховуємо режим холостого ходу, струм через резистор ${\displaystyle R_{1}=0}$ і падіння напруги на ньому нульове:

${\displaystyle V_{\mathrm {Th} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }=}$

${\displaystyle ={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} =}$

${\displaystyle ={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} .}$

Обчислення еквівалентного опору, джерело напруги закорочено:

${\displaystyle R_{\mathrm {Th} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]=}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]=}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .}$

Тут символом ${\displaystyle \|}$ позначено опір паралельного з'єднання резисторів ${\displaystyle R_{4}}$ і ${\displaystyle R_{2}+R_{3}.}$

Див. також

• Метод еквівалентного генератора
• Правила Кірхгофа