Теорема Фогта–Рассела

Теорема Фогта–Рассела стверджує, що структура зорі, яка перебуває в гідростатичній і тепловій рівновазі з енергією, яка виділяється в її ядерних реакціях, однозначно визначається її масою та внутрішнім розподілом хімічних елементів^[1]. Хоча теорема Фогта–Рассела називається теоремою, вона ніколи не була доведена в загальному випадку. Теорема названа на честь астрономів Генріха Фогта та Генрі Норріса Рассела, які розробили її незалежно один від одного.

Формулювання теореми

Згідно означення, озвученого Чандрасекхаром^[2], теорема Фогта-Рассела стверджує, що за деяких загальних умов уся структура зорі унікально визначається її масою ${\displaystyle m}$ та хімічним складом ${\displaystyle \mu }$.

До вказаних умов належать, зокрема:

• Відсутність сильних магнітних полів;
• Відсутність швидкого обертання зорі^[3].

Аналітичне доведення

Як було сказано раніше, теорема Фогта-Рассела ніколи не була доведена в загальному випадку, проте може бути показана через систему рівняннь структури зорі^[4]:

1. Рівняння гідростатичної рівноваги: ${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}\rho }$
2. Рівняння маси зорі: ${\displaystyle {\frac {dM(r)}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$
3. Рівняння стану: ${\displaystyle P={\frac {R}{\mu }}\rho T}$
4. Рівняння переносу: ${\displaystyle {\frac {dP(r)}{dr}}=-{\frac {\alpha L(r)}{4\pi r^{2}c}}=-{\frac {\kappa \rho L(r)}{4\pi r^{2}c}}}$
5. Рівняння енерговиділення: ${\displaystyle {\frac {dL}{dr}}=4\pi r^{2}\rho \epsilon }$
6. Рівняння конвективного переносу: ${\displaystyle {\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dr}}={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dr}}}$

Маємо набір із диференціальних рівнянь. З них можемо записати вираз через деяку функцію ${\displaystyle f_{i}}$, яка буде описувати зорю:

${\displaystyle f_{i}(r,\rho (r),T(r),M(r),L(r),\mu )=0}$

проінтегрувавши її, будемо мати:

${\displaystyle F_{i}(r,\rho (r),T(r),M(r),L(r),\mu ,c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})=0}$

Розглянемо випадок ${\displaystyle r=r_{\star }}$, звідси:

${\displaystyle F_{i}(r_{\star },0,0,M_{\star },L_{\star },\mu ,c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})=0\Rightarrow c_{i}=c_{i}(r_{\star },M_{\star },L_{\star },\mu )}$

тепер нехай ${\displaystyle r=0}$:

${\displaystyle F_{i}(0,\rho _{c},T_{c},M_{\star },L_{\star },\mu )=0}$

При ${\displaystyle i=1,2}$ - знаходимо ${\displaystyle \rho _{c}}$ i ${\displaystyle T_{c}}$.

Залишаються:

${\displaystyle f_{3}(\mu ,r_{\star },M_{\star },L_{\star })=0}$

${\displaystyle f_{4}(\mu ,r_{\star },M_{\star },L_{\star })=0}$

Отже, для визначення структури зорі достатньо задати тільки два елементи.

Література

• Helmuth Kähler: The Vogt-Russell theorem, and new results of an old problem. In: A. G. Davis Philip, D. S. Hayes (Hrsg.): Symposium – International Astronomical Union: The HR Diagram. 80, 1978, S. 303–311 (doi:10.1017/S007418090014570X).
• S. CHANDRASEKHAR: AN INTRODUCTION TO THE STUDY OF STELLAR STRUCTURE. The University of Chicago Press, Chicago, Illinois, U.S.A., S. 254 (https://archive.org/embed/in.ernet.dli.2015.212456).