Теорема Філіпса

Теорема Філіпса — є узагальненням теореми Гамільтона — Келі.

Теорема

Для заданих квадратних матриць ${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{m}}$ порядку ${\displaystyle n}$ та скалярного многочлена ${\displaystyle g(\xi _{0},\dots ,\xi _{m})=|A_{0}\xi _{0}+\dots +A_{m}\xi _{m}|}$, довільні попарно переставні квадратні матриці ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{m}}$ порядку ${\displaystyle n}$ для яких виконується ${\displaystyle A_{0}X_{0}+\dots +A_{m}X_{m}=0}$, задовольняють матричне рівняння:

${\displaystyle g(X_{0},\dots ,X_{m})=0}$.

Доведення

Доведення теореми аналогічне доведенню теореми Гамільтона — Келі. Потрібно використати союзну матрицю до матриці многочленів

${\displaystyle A(\xi _{0},\dots ,\xi _{m})=A_{0}\xi _{0}+\dots +A_{m}\xi _{m}}$.

Частковий випадок

Як матриці ${\displaystyle X_{0},\dots ,X_{m}}$ можна використати степені ${\displaystyle X^{m},X^{m-1},\dots ,X,I}$ деякої квадратної матриці ${\displaystyle X}$, яка є розв'язком матричного рівняння:

${\displaystyle A_{0}X^{m}+A_{1}X^{m-1}+\dots +A_{m-1}X+A_{m}=0}$.

Див. також

• Анулюючий многочлен

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)