Теорема Шаля

Теорема Шаля — будь-яке переміщення площини є або паралельним перенесенням, або поворотом, або осьовою симетрією, або переносною симетрією.

Площина

Будь-який рух площини, що зберігає орієнтацію, являє собою або поворот (зокрема, центральну симетрію, а також тотожне відображення), або паралельне перенесення.

Будь-який рух площини, що змінює орієнтацію, є осьовою або ковзною симетрією.

Простір

Будь-який рух простору, що зберігає орієнтацію, є ковзним поворотом.

Будь-який рух простору, що змінює орієнтацію, є композицією дзеркальної симетрії і ковзного повороту.

Доказ

Основні ідеї доказу: Будь-який рух однозначно задається трьома різними точками та його образами.

Будь-який рух представимо у вигляді композиції не більше трьох осьових симетрій.

Перебір варіантів: рух представимо у вигляді композиції однієї, двох або трьох осьових симетрій.

Інші розміри та поля

Теорема Картана — Дьєдонне виражає подібну ідею в розмірах, відмінних від трьох.