Теорема косинусів (сферична геометрія)

В сферичній тригонометрії, теорема косинусів (також відома як правило косинусів для сторін^[1]) — формули відношення сторін і кутів сферичних трикутників, аналог теореми косинусів в тригонометрії на площині.

Сферичний трикутник

Нехай дана сфера з діаметром 1, сферичний трикутник на сфері визначається трьома великими колами, що поєднують три точки u , v і w на сфері (див. малюнок праворуч). Якщо довжини трьох сторін становлять a (від u' до v), b (від u до w) і c (від v до w), і кут навпроти c є C, тоді (перший) сферична теорема косинусів стверджує:^[2][1]

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}$

Через те, що це одинична сфера, довжини a, b і c просто дорівнюють кутам (в радіанах) утвореним радіусами сфери проведеними до кінців відповідної сторони (для не одиничної сфери довжини сторін дорівнюють добутку дугового кута на радіус). В особливому випадку, коли ${\displaystyle C=\pi /2}$, тоді ${\displaystyle \cos(C)=0\,}$ і ми отримуємо сферичний аналог теореми Піфагора:

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b).\,}$

Різновидом теореми косинусів, друга сферична теорема косинусів,^[3] (також відома як правило косинусів для кутів^[1]) стверджує:

${\displaystyle \cos(A)=-\cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C)\cos(a)\,}$

де A та B це кути протилежні до сторін a і b, відповідно.

Для маленького сферичного трикутника, тобто для маленьких a, b і c, сферична теорема косинусів наближається до теореми косинусів на площині,

${\displaystyle c^{2}\approx a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C).\,\!}$

Помилка в цьому наближенні, може бути обчислена з ряду Тейлора для функцій косинуса та синуса, і становить:

${\displaystyle O(c^{4})+O(a^{3}b)+O(ab^{3}).\,\!}$

Доведення

Доведення може бути побудоване наступним чином.^[2] Нехай u, v, і w означають одиничні вектори з центру сфери до кутів трикутника. Тоді, довжини (кути) сторін задаються як скалярні добутки:

${\displaystyle \cos(a)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle \cos(b)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} }$

${\displaystyle \cos(c)=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$

Для отримання кута C, нам потрібен дотичні вектори t_a і t_b в u уздовж напрямків сторін a і b, відповідно. Наприклад, дотичний вектор t_a це одиничний вектор перпендикулярний до u в площині u-v, напрямок якого задається компонентом v перпендикулярним до u. Це означає:

${\displaystyle \mathbf {t} _{a}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{\left|\mathbf {v} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\right|}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {u} \cos(a)}{\sin(a)}}}$.

Аналогічно,

${\displaystyle \mathbf {t} _{b}={\frac {\mathbf {w} -\mathbf {u} \cos(b)}{\sin(b)}}.}$

Тоді кут C отримаємо як:

${\displaystyle \cos(C)=\mathbf {t} _{a}\cdot \mathbf {t} _{b}={\frac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{\sin(a)\sin(b)}}}$

звідки негайно отримуємо теорему косинусів.

Як наслідок легко отримати другу теорему косинусів.

Теорема синусів для тригранного кута

${\displaystyle {\sin a \over \sin A}={\sin b \over \sin B}={\sin c \over \sin C}}$.