Теорема про універсальні коефіцієнти

Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами ^[1] · ^[2] · ^[3] · ^[4]. Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі ${\displaystyle G}$ (серед найважливіших для застосувань є групи ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$) через обчислення для коефіцієнтів ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс Маклейн^[5] · ^[6]. У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей ^[7].

Перед загальним твердженням теореми можна розглянути її на простому прикладі. Двоїстість між ланцюгами і коланцюгами породжує пару ${\displaystyle \langle -,-\rangle :H^{i}(C^{\bullet })\otimes H_{i}(C_{\bullet })\to \mathbb {Z} }$ для кожного ланцюгового комплекса ${\displaystyle C}$. Звідси можна отримати гомоморфізм між абелевими групами ${\displaystyle H^{i}(C^{\bullet })\to \operatorname {Hom} \left(H_{i}(C),\mathbb {Z} \right),}$ для якого образом кожного ${\displaystyle i}$-коцикла ${\displaystyle f}$ є гомоморфізм ${\displaystyle \phi _{f}:x\mapsto f(x)}$. Теорема про універсальні коефіцієнти узагальнює цю конструкцію на випадок якщо коефіцієнти гомологічних і когомологічних груп є іншими, ніж ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Твердження теореми

Нехай C є ланцюговим комплексом із цілими коефіцієнтами^[8], а ${\displaystyle H_{i}(C)}$ і ${\displaystyle H^{i}(C)}$ позначають відповідні гомологічні і когомологічні групи. Для деякої абелевої групи G нехай ${\displaystyle H_{i}\left(C;G\right)}$ позначає гомологічні групи із коефіцієнтами G (тобто гомологічні групи для ланцюгового комплекса ${\displaystyle C\otimes G}$), а ${\displaystyle H^{i}\left(C;G\right)}$ позначає відповідні когомологічні групи.

Для когомологічних груп

При вказаних вище позначеннях послідовність нижче є точною:^[9]

$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} \left(H_{i-1}(C),G\right)\to H^{i}\left(C;G\right)\to \operatorname {Hom} \left(H_{i}(C),G\right)\to 0}$$

Послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Теорему і її доведення можна продовжити для одержання теореми Кюннета ^[10] · ^[11].

Для гомологічних груп

У випадку гомології замість функтора Ext використовується функтор Tor. Послідовність нижче є точною:^[12]

$${\displaystyle 0\to H_{i}(C)\otimes G\to H_{i}\left(C;G\right)\to \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)\to 0}$$

Як і у випадку когомології ця послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Ненатуральність розщеплення

Ненатуральність розщеплення має важливі наслідки і є одною із перешкод для практичного застосування теореми. Для випадку гомологічних груп розщеплення послідовності осначає, що ${\displaystyle H_{i}\left(C;G\right)\simeq H_{i}(C)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)}$ і при цьому у точній послідовності у твердженні теореми перше відображення є вкладення як перший доданок прямої суми, а друге відображення є проєкцією на другий доданок.

Ненатуральність такого розщеплення означає, що існують ланцюгові комплекси C і D і ланцюгове відображення f між ними, таке що при записах ${\displaystyle H_{i}\left(C;G\right)\simeq H_{i}(C)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)}$ і ${\displaystyle H_{i}\left(D;G\right)\simeq H_{i}(D)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(D),G\right)}$ індуковане відображення ${\displaystyle f_{*}:H_{i}\left(C;G\right)\to H_{i}\left(D;G\right)}$ не має вигляд ${\displaystyle f_{*}(H_{i}\left(C;G\right))=f_{*}(H_{i}(C))\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(f_{*}(H_{i-1}(C)),G\right).}$

Для прикладу коли таке не відбувається розглянемо сингулярні гомології на дійсній проєктивній площині ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$ і сфері. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$ можна розглядати як фактор-простір одиничної сфери щодо антиподального відображення ${\displaystyle \phi$ :(x,y)\mapsto (-x,-y)} . Зокрема існує канонічне вкладення ${\displaystyle \psi$ :\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )\to \mathbb {S} ^{2}} проективної площини у сферу.

• Сингулярні гомологія із коефіцієнтами ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: для дійсної проективної площини ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними. Для сфери ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} }$, усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними.
• Відображення ${\displaystyle \psi }$ породжує ланцюговий гомоморфізм між сингулярними ланцюговими комплексами і, як наслідок, гомоморфізм між гомологічними групами ${\displaystyle \psi _{*}:H_{*}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ))\to H_{*}(\mathbb {S} ^{2}),}$, який є нульовим для всіх груп.
• Згідно теореми про універсальні коефіцієнти існує розклад ${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq H_{i}(X)\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \operatorname {Tor} (H_{i-1}(X),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$
• Зокрема ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq 0\oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ і ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {S} ^{2};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus 0}$

Якби ці розклади були натуральними то гомоморфізм ${\displaystyle \psi _{*,2}}$ для гомологічних груп із коефіцієнтами ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ мав би бути нульовим оскільки ${\displaystyle \psi _{*}(H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )))=\psi _{*}(0)=0}$ і ${\displaystyle \psi _{*}(H_{1}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )))=\psi _{*}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=0}$ (оскільки ${\displaystyle H_{*}(\mathbb {S} ^{2})=0}$) то ж і ${\displaystyle \operatorname {Tor} (H_{i-1}(X),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=0}$.

Натомість пряме обчислення показує, що ${\displaystyle \psi _{*,2}:H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to H_{2}(\mathbb {S} ^{2};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ є ізоморфізмом, а не нульовим відображенням.

Доведення теореми

Доведення подано для випадку когомолії^[13]. Доведення у випадку гомології є подібним.

Нехай ${\displaystyle (C_{\bullet },\delta )}$ є коланцюговим комплексом вільних ${\displaystyle Z}$-модулів (вільних абелевих груп) і ${\displaystyle Z_{\bullet }}$ позначає його коцикли, а ${\displaystyle B_{\bullet }}$ його кограниці. Оскільки ${\displaystyle Z_{\bullet }}$ і ${\displaystyle B_{\bullet }}$ для кожного індекса є підгрупами вільної абелевої групи, то вони теж є вільними модулями. Розглянемо тепер дві точні послідовності:

${\displaystyle {\begin{aligned}&0\to Z_{p}\ {\overset {i}{\to }}\ C_{p}\ {\overset {\partial }{\to }}\ B_{p-1}\to 0\\&0\to B_{p}\xrightarrow {j} Z_{p}\xrightarrow {q} H_{p}(C)\to 0\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle B_{p-1}}$ у першій з них є вільним модулем, то послідовність розщеплюється і тому можна підібрати відповідну проєкцію ${\displaystyle f:C_{\bullet }\to Z_{\bullet }}$, а також застосування функтора ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,G)}$ до цієї послідовності теж дає точні послідовність. У другій послідовності натомість ${\displaystyle H_{p}(C)}$ у загальному випадку не є вільною групою, тому після застосування функтора ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,G)}$ утворюється послідовність яка є лише точною зліва. Також друга точна послідовність є вільною резольвентою групи ${\displaystyle H_{p}(C)}$ тож за означенням функтора Ext можна записати ${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{p},G)\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))}$.

Також позначаючи ${\displaystyle \delta \$ :\ \operatorname {Hom} (C_{p},G)\to \operatorname {Hom} (C_{p+1},G)} — стандартне кограничне відображення у коланцюговому комплексі із означення цього відображення і попередніх відображеня можна записати ${\displaystyle \delta =\partial ^{*}\circ j^{*}\circ i^{*},}$ де всі відображення ${\displaystyle \partial ^{*},j^{*},i^{*}}$ є образами відповідних відображень у точних послідовностях вище при дії функтора ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,G)}$.

На основі всіх цих властивостей і означень можна побудувати комутативну діаграму:

$${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&0&&0\\&&&&\uparrow &&\downarrow \\0&\to &\operatorname {Hom} (H_{p},G)&\xrightarrow {q^{*}} &\operatorname {Hom} (Z_{p},G)&\xrightarrow {j^{*}} &\operatorname {Hom} (B_{p},G)\\&&&&f^{*}\downarrow \uparrow i^{*}&&\downarrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (C_{p-1},G)&\xrightarrow {\delta } &\operatorname {Hom} (C_{p},G)&\xrightarrow {\delta } &\operatorname {Hom} (C_{p+1},G)\\&&\downarrow i^{*}&&\uparrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G)&\xrightarrow {j^{*}} &\operatorname {Hom} (B_{p-1},G)&\to &\operatorname {Ext} (H_{p},G)&\to &0\\&&\downarrow &&\uparrow \\&&0&&0\end{matrix}}}$$

За побудовою кожен стовпець і перший і третій рядки у цій діаграмі є точними послідовностями, а у другому рядку образ першого відображення загалом є лише підмножиною ядра другого.

Із першого рядка діаграми випливає, що ${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)}$ можна ідентифікувати із ${\displaystyle \ker j^{*}}$. Також із ін'єктивності ${\displaystyle \partial ^{*}}$ випливає, що ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Hom} (C_{p},G)}$ є коциклом (тобто (${\displaystyle \delta (\alpha )=0}$) тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle i^{*}(\alpha )\in \ker j^{*}.}$ Тому одержується гомоморфізм ${\displaystyle \Phi }$ із ${\displaystyle Z^{i}\left(C;G\right)}$ у ${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)}$ (через ідентифікацію останньої із ${\displaystyle \ker j^{*}}$) і до того ж образ ${\displaystyle f^{*}}$ на діаграмі теж належить ${\displaystyle Z^{i}\left(C;G\right)}$, тож гомоморфізм ${\displaystyle \Phi }$ є сюр'єктивним. Із точної послідовності у другому стовпці діаграми маємо, що ядром цього гомоморфізму є ${\displaystyle \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))}$ адже ця множина є очевидно підмножиною ${\displaystyle Z^{i}\left(C;G\right)}$. Якщо при цьому елемент є кограницею, тобто ${\displaystyle \alpha =\delta (\beta ),}$ із комутативності діаграми також ${\displaystyle \alpha =\partial ^{*}\circ j^{*}\circ i^{*}(\beta )}$ і тому ${\displaystyle \alpha \in \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))}$, тож ${\displaystyle \Phi (\alpha )=0.}$ Із загальних властивостей алгебричних структур випливає, що ${\displaystyle \Phi }$ породжує гомоморфізм ${\displaystyle {\bar {\Phi }}\$ :\ H^{p}(C;G)\to \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)} і${\displaystyle \ker \left({\bar {\Phi }}\right)\simeq \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))/\operatorname {Im} (\delta )\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(i^{*}(\operatorname {Hom} (C_{p-1},G))).}$ Сюр'єктивність ${\displaystyle i^{*}}$ дозволяє ідентифікувати останню групу із ${\displaystyle \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))}$ тобто ${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{p},G).}$

Застосування

• Для всіх ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модулів ${\displaystyle M}$ справедливим є твердження ${\displaystyle \operatorname {Tor} (M,\mathbb {Q} )=0}$. Тому із теореми про універсальні коефіцієнти ${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} \simeq H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$. Зокрема для дійсної проективної площини гомологія над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є рівною гомології точки.
• Якщо ${\displaystyle H_{i-1}(X;G)}$ є вільною абелевою групою, то ${\displaystyle H_{i}(X;G)\simeq H_{i}(X)\otimes G}$.
• Для всіх скінченнопороджених абелевих груп ${\displaystyle H}$ виконується властивість ${\displaystyle \operatorname {Ext} \left(H,\mathbb {Z} \right)\simeq H_{\text{tors}}.}$ Зокрема, якщо група ${\displaystyle G}$ є полем, то не існує кручення і як векторні простори ${\displaystyle H_{i}\simeq H^{i}}$.
• Якщо ${\displaystyle X}$ є CW-комплексом із скінченною кількістю клітин кожної розмірності то ${\displaystyle H_{i}(X)}$ є скінченнопородженими і можуть бути записаними як ${\displaystyle H_{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i}}$ де ${\displaystyle T_{i}}$ є підгрупою кручення і ранг ${\displaystyle b_{i}}$ називається ${\displaystyle i}$-им числом Бетті. Із використанням теореми про універсальні коефіцієнти можна показати, що ${\displaystyle H^{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i-1}}$.
• Із попереднього разом із двоїстістю Пуанкаре, де її можна застосувати (якщо ${\displaystyle X}$ є орієнтовним многовидом розмірності ${\displaystyle n}$ без границі), одержується рівність ${\displaystyle b_{i}=b_{n-i}}$.