Нехай $x$ є дійсним числом і вирази ${\textstyle \sum _{n\leqslant x}}$ і ${\textstyle \sum _{p\leqslant x}}$ позначають суму по всіх натуральних і простих числах, що не перевищують. Тоді виконуються такі рівності (кожну із яких називають теоремою Мертенса):

(1)\quad \sum _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x\,+\,O(1).

Тут

\Lambda (n)

є функцією фон Мангольдта.

(2)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x\,+\,O(1).

Більш того

{\textstyle \sum _{p\leqslant n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}

для будь-якого натурального числа

n

за абсолютним значенням не перевищує 2.

(3)\quad \int _{1}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}}}\mathrm {d} t=\log x\,+\,O(1).

Тут

{\textstyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\operatorname {log} (p)}

є функцією Чебишева.

(4)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M\,+\,O\left({\frac {1}{\log x}}\right).

Константа

M

називається константою Майсселя — Мертенса і вона є рівною:

M=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (k).

де

\gamma =0,5772156649...

є константою Ейлера — Маскероні.

(5)\quad \lim _{x\to \infty }\log x\prod _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }.

Твердження теорем

Література