Теореми Паппа — Гульдіна

Теореми Паппа — Гульдіна — дві теореми про тіла обертання, які пов'язують їхні площі і об'єми з довжиною кола, яке описують їхні центроїди.

Застосування теореми до відкритого циліндра, конуса і сфери для отримання площ їхніх поверхонь. Центроїди розташовані на відстані a (червоним) від осей обертання

Їх сформулював, але не довів Папп Александрійський; перше відоме нам доведення належить Паулю Гульдіну.

Перша теорема

Перша теорема стверджує, що площа поверхні A поверхні обертання, яку утворили обертанням плоскої кривої C навколо зовнішньої стосовно C осі в одній з ній площині дорівнює добутку довжини s кривої C і відстані d пройденій її геометричним центроїдом.

${\displaystyle A=sd.\,}$

Наприклад, площа поверхні, тора з малим радіусом r і великим радіусом R є

${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.\,}$

Друга теорема

Друга теорема стверджує, що об'єм V тіла обертання утвореного обертанням плоскої фігури F навколо зовнішньої осі дорівнює добутку площі A фігури F і відстані d, яку пройшов її геометричний центроїд.

${\displaystyle V=Ad.\,}$

Наприклад, об'єм тора з малим радіусом r і великим радіусом R є

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\,}$

Див. також

• Теорема Паппа про площі

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Теореми Паппа — Гульдіна(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.