Топологія Зариського

Тополо́гія Зари́ського в алгебричній геометрії — спеціальна топологія, що відображає алгебричну природу алгебричних многовидів. Названа на честь Оскара Зариського.

Топологія Зариського в класичній алгебричній геометрії

Афінний простір

В класичній алгебричній геометрії топологія Зариського — топологія в афінному просторі ${\displaystyle k^{n}}$ над алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle k}$, замкнутими множинами якої є алгебричні множини, тобто множини виду:

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}}$

де S — множина многочленів з n змінними над полем k.

Проективний простір

n-вимірний проективний простір ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ визначається як множина ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$ де точки, що відрізняються множенням на елементи з k ідентифікуються. Якщо S — множина однорідних многочленів, то замкнутими множинами топології Зариського є множини виду:

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.}$

Топологія Зариського для спектра кілець

Нехай ${\displaystyle A}$ — комутативне кільце, і ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,A}$ — спектр цього кільця, тобто множина простих ідеалів ${\displaystyle A}$. Тоді топологією Зариського називається топологія замкнутими множинами якої є:

${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}}$

для ідеалів ${\displaystyle I\subseteq A}$.

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.