Тотожність

Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,

${\displaystyle a+b=b+a}$,

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$,

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$,

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$,

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}$,

${\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc}$,

${\displaystyle \left(a+b\right)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}}$,

${\displaystyle a:{\frac {b}{d}}={\frac {ad}{b}}}$,

${\displaystyle a\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{d}}}$

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}}$

тощо.

Рівність ${\displaystyle x+2=5}$ має місце не для будь-якого значення ${\displaystyle x}$, а тільки при ${\displaystyle x=3}$. Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: ${\displaystyle 25^{2}=625}$.

Тотожність часто позначається символом «≡»

Формули скороченого множення

• Квадрат суми (різниці): ${\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}$ справедлива рівності для будь яких ${\displaystyle a,b}$.

• Різниця квадратів: ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$ справедлива рівність для будь яких ${\displaystyle a,b}$.

• Куб суми (різниці): ${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}$ справедлива рівність для будь яких ${\displaystyle a,b}$.

• Сума (різниця) кубів: ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}$ справедлива рівність для будь яких ${\displaystyle a,b}$.

• Многочлени ${\displaystyle (a+b\pm c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\pm 2ac\pm 2bc}$ справедлива рівність для будь яких ${\displaystyle a,b,c}$.^[1]

Пропорція

Пропорція ${\displaystyle {\frac {2a}{a-1}}={\frac {10a}{5(a-1)}}}$ є тотожність при всіх значеннях ${\displaystyle a}$, крім ${\displaystyle a=1}$, оскільки при ${\displaystyle a=1}$ знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу ${\displaystyle {\frac {ac}{bc}}}$ виразом ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ (скоротили на ${\displaystyle c}$) є тотожнім перетворенням виразу ${\displaystyle {\frac {ac}{bc}}}$ при обмеженнях: ${\displaystyle b\neq 0,c\neq 0}$.Отже, ${\displaystyle {\frac {ac}{bc}}}$=${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ — тотожність при всіх значеннях змінних, крім ${\displaystyle b=0,c=0}$^[2].

Тотожності (властивості степенів)

Для будь яких ${\displaystyle x,y}$ і додатних ${\displaystyle a,b}$ справедливі рівності:

${\displaystyle a^{0}=1}$; ${\displaystyle a^{x}a^{y}=a^{x+y}}$; ${\displaystyle a^{x}\div a^{y}=a^{x-y}}$; ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$; ${\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}b^{x}}$; ${\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}}$; ${\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}}$.

Логарифмічні тотожності

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня ${\displaystyle x^{p}}$ дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.^[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що ${\displaystyle x>0,y>0,a>0,a\neq 1}$, ${\displaystyle p\in R}$.

	Формула	Приклад
добуток	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
частка	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
степінь	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
корінь	${\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

З означення логарифма випливає, що при ${\displaystyle a>0,a\neq 1,b>0}$ виконується рівність ${\displaystyle a^{\log _{a}{b}}=b}$. ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.^[4]

Формула переходу до іншої основи логарифма

Прологарифмуємо за основою ${\displaystyle c}$, де ${\displaystyle c>0,c\neq 1}$, обидві частини основної логарифмічної тотожності ${\displaystyle a^{\log _{a}{b}}=b}$. Отримаємо: ${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$ — формула переходу від логарифма з основою ${\displaystyle a}$ до логарифма з основою ${\displaystyle c}$^[5].

Тотожності гіперболічної функції

Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна^[6] зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}$
2. Парність:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}$
3. Формули додавання:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}$
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}}$.

Приклади тотожностей в математиці

• Тотожність Ейлера
• Тотожність паралелограма
• Тотожність чотирьох квадратів
• Тотожність восьми квадратів
• Тригонометричні тотожності

Див. також

• Відношення еквівалентності