Транзитивність (динамічні системи)

У теорії динамічних систем, динамічну систему ${\displaystyle (X,f)}$ називають (топологічно) транзитивною, якщо вона має всюди щільну у фазовому просторі орбіту:

${\displaystyle \exists x:\quad {\overline {\{f^{n}(x)|n\in \mathbb {N} \}}}=X.}$

У разі оборотної динамічної системи, заміна ${\displaystyle \mathbb {N} }$ на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ приводить для випадку фазового простору без ізольованих точок до еквівалентного визначення.

Приклади

• Будь-яка мінімальна динамічна система транзитивна. Зокрема, транзитивний ірраціональний поворот кола.
• Відображення подвоєння кола ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$ не мінімальне (оскільки має нерухому точку 0), але транзитивне.
• Лінійний дифеоморфізм Аносова тора транзитивний.

Література

• Каток А. Б.^[ru], Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 42. — ISBN 5-88688-042-9.