Трикутник Кеплера

Трикутник Кеплера — прямокутний трикутник довжини сторін якого перебувають у геометричній прогресії. Відношення сторін трикутника Кеплера прив'язано до золотого перетину

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$

Трикутник Кеплера — правильний трикутник сформований трьома квадратами з площами, що перебувають у геометричній прогресії відповідно до золотого перетину

і може бути записане: ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, або приблизно 1 : 1.2720196 : 1.6180339.^[1] Квадрати сторін трикутника перебувають у геометричній прогресії відповідно до золотого перетину.

Трикутники з подібним відношенням названі на честь німецького математика і астронома Йоганна Кеплера (1571—1630), який першим продемонстрував, що цей трикутник характеризується рівністю відношення між меншим катетом і гіпотенузою та золотим перетином.^[2] Трикутник Кеплера об'єднує дві математичні концепції — теорему Піфагора і золотий перетин, це глибоко захопило Кеплера.

Деякі джерела стверджують, що трикутник майже подібний трикутнику Кеплера можна побачити в піраміді Хеопса.^[3][4]

Виведення

Факт того, що сторони ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ та ${\displaystyle \varphi }$, формують прямокутний трикутник отримується прямо шляхом переписання квадратного полінома, що визначає золотий перетин ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

у вигляді теореми Піфагора:

${\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}$

Побудова трикутника Кеплера

Спосіб побудови трикутника Кеплера через золотий прямокутник

Трикутник Кеплера може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки через золотий прямокутник:

1. Малюємо звичайний квадрат
2. Проводимо лінію через середину одної сторони квадрата і протилежну вершину
3. Використовуємо цю лінію для накреслення дуги, що визначає висоту прямокутника
4. Використовуємо довшу сторону золотого прямокутника для малювання дуги, що перетинає протилежну сторону прямокутника і визначає гіпотенузу трикутника Кеплера

Математичний збіг

Див. також: Математичний збіг

Візьмемо трикутник Кеплера зі сторонами ${\displaystyle a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,}$ і розглянемо:

• описане навколо нього коло і
• квадрат зі стороною, рівною середній за величиною стороні трикутника.

Тоді периметр квадрата (${\displaystyle 4a{\sqrt {\varphi }}}$) и довжина кола (${\displaystyle a\pi \varphi }$) збігаються з точністю до 0,1 %.

Це математичний збіг ${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}}$. Ці квадрат і коло не можуть мати однакової довжини периметра, оскільки в цьому випадку можна було б розв'язати класичну нерозв'язну задачу про квадратуру круга. Іншими словами, ${\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}}$ оскільки ${\displaystyle \pi }$ — трансцендентне число.