Фактор-категорія

Для абелевих фактор-категорій, що породжуються підкатегорією Сере^[en], див. Абелева фактор-категорія^[en].

У математиці фактор-категорія — це категорія, що отримується із іншої категорії шляхом ототожнювання множин морфізмів. Формально кажучи, це фактор-об'єкт в категорії малих категорій^[en], аналогічно до фактор-групи або фактор-простору, але в сенсі категорій.

Означення

Нехай ${\displaystyle C}$ — категорія. ${\displaystyle R}$ — відношення конґруентності на категорії ${\displaystyle C}$, що визначається наступним чином: для кожної пари об'єктів ${\displaystyle X,Y\in C}$ існує відношення еквівалентності ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ — відношення еквівалентності відносно композиції морфізмів. Тобто, якщо

${\displaystyle f_{1},f_{2}\colon \ X\to Y}$

еквівалентні на ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ і

${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon \ Y\to Z}$

еквівалентні на ${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y,Z)}$, тоді ${\displaystyle g_{1}f_{1}}$ і ${\displaystyle g_{2}f_{2}}$ еквівалентні на ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Z)}$.

Для заданого відношення конґруентності ${\displaystyle R}$ на категорії ${\displaystyle C}$ можна визначити фактор-категорію ${\displaystyle C/R}$ як категорію, об'єкти якої з категорії ${\displaystyle C}$, і морфізми якої — класи еквівалентності морфізмів категорії ${\displaystyle C}$. Тобто

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C/R}{\big (}X,Y{\big )}=\operatorname {Hom} _{C}{\big (}X,Y{\big )}/R_{X,Y}.}$

Композиція морфізмів на ${\displaystyle C/R}$ є однозначно визначеною^[en], оскільки ${\displaystyle R}$ є відношенням конґруентності.

Властивості

Існує природній фактор-функторкатегорії ${\displaystyle C}$ в фактор-категорію ${\displaystyle C/R}$, який переводить кожен морфізм у його клас еквівалентності. Цей функтор є бієктивним на об'єктах і сюр'єктивним на ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$-множинах (тобто є повним функтором).

Кожний функтор ${\displaystyle F\colon C\to D}$ визначає конґруенцію на категорії ${\displaystyle C}$, тобто ${\displaystyle f\sim g}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle F(f)=F(g)}$. Тоді функтор ${\displaystyle F}$ факторизується єдиним чином завдяки фактор-функтору ${\displaystyle C\to C/{\sim }}$. Це можна розглядати як першу теорему про ізоморфізм для категорій.

Приклади

• Моноїди і групи можна розглянути як категорії з одного об'єкту. У цьому випадку фактор-категорія збігається з таким поняттям як фактор-моноїд або фактор-група.
• Гомотопна категорія топологічних просторів^[en] hTop є фактор-категорією простору Top, категорії топологічних просторів^[en]. Класи еквівалентності морфізмів є гомотопними класами неперервних відображень.
• Нехай ${\displaystyle k}$ — поле і розгянемо абелеву категорію ${\displaystyle \operatorname {Mod} (k)}$ усіх векторних просторів над полем ${\displaystyle k}$ з ${\displaystyle k}$-лінійними відображеннями як морфізмами. Щоб "знищити" усі скінченновимірні простори, можемо назвати два лінійних відображення ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця має скінченновимірний образ. В отриманій фактор-категорії усі скінченновимірні векторні простори ізоморфні нулю. (Насправді це приклад адитивних фактор-категорій, див. нижче.)

Суміжні поняття

Адитивні фактор-категорії за ідеалами

Якщо ${\displaystyle C}$ адитивна категорія^[en] і відношення конґруентності ${\displaystyle \sim }$ над ${\displaystyle C}$ є адитивним (тобто, якщо ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$, ${\displaystyle g_{1}}$ і ${\displaystyle g_{2}}$ є морфізмами із ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, причому ${\displaystyle f_{1}\sim f_{2}}$ і ${\displaystyle g_{1}\sim g_{2}}$, тоді ${\displaystyle f_{1}+g_{1}\sim f_{2}+g_{2}}$)), тоді фактор-категорія ${\displaystyle C/{\sim }}$ також буде адитивною, і фактор-функтор ${\displaystyle C\to C/{\sim }}$ також буде адитивним функтором.

Концепція адитивного відношення конґруентності є еквівалентною концепції двостороннього ідеалу морфізмів: для будь-яких об'єктів ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ задана адитивна підгрупа ${\displaystyle I(X,Y)}$ з ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(Y,Z)}$ така, що для усіх ${\displaystyle f\in I(X,Y)}$, ${\displaystyle g\in \operatorname {Hom} _{C}(Y,Z)}$ і ${\displaystyle h\in \operatorname {Hom} _{C}(W,X)}$ отримуємо ${\displaystyle gf\in I(X,Z)}$ і ${\displaystyle fh\in I(W,Y)}$. Два морфізми із ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$ є конґруентими тоді й лише тоді, коли їх різниця належить ${\displaystyle I(X,Y)}$.

Будь-яке унітальне кільце може бути розглянуте як адитивна категорія з одного об'єкту і адитивна фактор-категорія, визначена вище, у цьому випадку збігається з поняттям фактор-кільця за двостороннім ідеалом.

Локалізація категорії

Локалізація категорії^[en] породжує нові морфізми, щоб перетворити деякі мофірзми із вихідної категорії на ізоморфізми. Як правило, це приводить до збільшення кількості морфізмів між об'єктами, а не зменшує їх, як у випадку фактор-категорій. Але в обох конструкціях часто трапляється, що ізоморфними стають два об'єкта, які не були ізоморфізмами в вихідній категорії.

Абелеві фактор-категорії Сере

Абелева фактор-категорія Сере^[en], що породжується підкатегорією Сере^[en], — це нова абелева категорія, яка подібна до фактор-категорії, але також в багатьох випадках має характер локалізації категорії.

Література

• Mac Lane, Saunders (1998, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5 (second ed.), Springer-Verlag.