Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},}$

в якому коефіцієнти ${\displaystyle {a_{n}}}$ належать деякому кільцю ${\displaystyle {R}}$. На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Вступ

Формальний степеневий ряд можна уявити як об'єкт, схожий на многочлен, але з нескінченною кількістю членів. Як альтернативу, для тих, хто знайомий зі степеневими рядами (або рядами Тейлора), можна розглядати формальний степеневий ряд як степеневий ряд, у якому ігноруються питання збіжності і не припускаюється, що змінна X позначає будь-яке числове значення (навіть невідоме). Наприклад, розглянемо ряд

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Як для степеневого ряду його радіус збіжності дорівнює 1. Однак при вивченні його як формального степеневого ряду, ці питання ігноруються; все, що має значення, це послідовність коефіцієнтів [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Іншими словами, формальний степеневий ряд — об'єкт, що може розглядатися просто як послідовність коефіцієнтів. Цілком прийнятно розглядати формальний степеневий ряд з факторіалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] в якості коефіцієнтів, навіть якщо відповідний степеневий ряд є розбіжним при будь-якому ненульовому значенні X.

Арифметичні дії над формальними степеневими рядами виконуються, подібно до многочленів. Наприклад, якщо

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

то сума A і B обчислюється почленно:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Добуток формальних степеневих рядів, як і для многочленів відбувається за допомогою добутку Коші:

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Зокрема кожен коефіцієнт у добутку AB залежить лише від скінченної кількості коефіцієнтів A та B. Наприклад, член X⁵ обчислюється як

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

З цієї причини можна множити формальні степеневі ряди, не турбуючись про питання абсолютної, умовної та рівномірної збіжності, які виникають при роботі зі степеневими рядами в контексті аналізу.

Після визначення множення для формальних степеневих рядів, можна визначити мультиплікативні обернені елементи. Мультиплікативним оберненим до формального степеневого ряду A є формальний степеневий ряд C такий, що AC = 1, за умови, що такий формальний степеневий ряд існує. Якщо у A є мультиплікативний обернений елемент, то він є унікальним і зазвичай позначається як A⁻¹.

За допомогою обернених елементів, можна визначити ділення. Зокрема B/A є рівним добутку BA⁻¹, за умови, що обернений до A ряд існує. Наприклад:

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Важливою операцією над формальними степеневими оператор коефіцієнтів. У найпростішій формі, оператор коефіцієнтів ${\displaystyle [X^{n}]}$, застосований до формального степеневого ряду ${\displaystyle A}$ однієї змінної, надає значення коефіцієнта при ${\displaystyle n}$-му степені змінної. Наприклад ${\displaystyle [X^{2}]A=5}$ та ${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$. Серед інших прикладів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

Аналогічно, багато інших операцій, які виконуються над поліномами, можуть бути розширені на формальні степеневі ряди.

Кільце формальних степеневих рядів

Якщо розглядати множину всіх формальних степеневих рядів в X з коефіцієнтами в комутативному кільці R, то елементи цієї множини разом утворюють інше кільце, яке позначається як ${\displaystyle R[[X]],}$ і називається кільцем формальних степеневих рядів відносно змінної X над R.

Означення кільця формальних степеневих рядів

${\displaystyle R[[X]]}$ можна характеризувати абстрактно як поповнення кільця многочленів ${\displaystyle R[X]}$, оснащеного певною метрикою. Це автоматично надає ${\displaystyle R[[X]]}$ структуру топологічного кільця (і навіть повного метричного простору).

Структура кільця

Як множина, ${\displaystyle R[[X]]}$ може бути побудована як множина ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ усіх нескінченних послідовностей елементів ${\displaystyle R}$, індексованих натуральними числами (включаючи 0).

Сума таких послідовностей здійснюється за формулою

${\displaystyle (a_{n}){n\in \mathbb {N} }+(b_{n}){n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

і добуток за формулою

${\displaystyle (a_{n}){n\in \mathbb {N} }\times (b_{n}){n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{!n\in \mathbb {N} }.}$

Цей тип добутку називається добутком Коші двох послідовностей коефіцієнтів, і є своєрідною дискретною згорткою. З цими операціями, ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ стає комутативним кільцем з нульовим елементом ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ і мультиплікативною одиницею ${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$.

Цей добуток насправді є аналогічним до того, що використовується для визначення добутку многочленів з однією змінною. Кільце ${\displaystyle R}$ можна вважати підкільцем у ${\displaystyle R[[X]]}$, ідентифікуючи ${\displaystyle a\in R}$ із послідовністю ${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$. Якщо позначити послідовність ${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$ як ${\displaystyle X}$ то кожну послідовність із скінченною кількістю ненульових елементів можна виразити через ці спеціальні елементи як

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

Такі послідовності є відповідниками многочленів із змінною ${\displaystyle X}$. Загальну послідовність ${\displaystyle (a_{n}){n\in \mathbb {N} }}$ теж можна записати за допомогою формального виразу ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$, хоча останній не є виразом, сформованим за допомогою вищезазначених операцій додавання і множення (з яких можна будувати лише скінченні суми). Ця нотаційна угода дозволяє переформулювати вищезгадані визначення як

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

та

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

Алгебричні операції

В ${\displaystyle R[[X]]}$ можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}$

Тоді:

${\displaystyle H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}}$

${\displaystyle H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}}$

${\displaystyle H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}}$ (при цьому необхідно щоб ${\displaystyle b_{0}=0}$)

${\displaystyle H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}}$

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія

В множині ${\displaystyle R[[X]]}$ також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},\,\!}$

де k найменше натуральне число таке що a_k ≠ b_k;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи

Формальний ряд:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a₀ є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$, і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}}\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}\qquad {\text{for }}n\geq 1.\end{aligned}}}$

Властивості

• Максимальними ідеалами кільця формальних степеневих рядів є ідеали M для яких M ∩ R є максимальним ідеалом в R і M є породжене X і M ∩ R.
• Якщо R є локальним кільцем, то локальним кільцем є також R[[X]]
• R — кільце Нетер, то також R[[X]] є кільцем Нетер .
• Якщо R — область цілісності, то R[[X]] також буде областю цілісності.
• Метричний простір (R[[X]], d) є повним.
• Кільце R[[X]] є компактним тоді коли кільце R є скінченним.

Див. також

• Степеневий ряд
• Генератриса

Посилання

• Формальні степеневі ряди на сайті PlanetMath.