Формула Герона

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника ${\displaystyle S}$ за даними довжинами його сторін ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$.

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, де ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}\,}$  — половина периметру трикутника або півпериметр.

Трикутник із сторонами a, b й c.

Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрата двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}$

Доведення (тригонометричне)

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}$, де ${\displaystyle \ \gamma }$ — кут трикутника, що лежить навпроти сторони ${\displaystyle c}$.

Згідно з теоремою косинусів ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$. Звідси ${\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}}$.

Тому ${\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}$

${\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}$

${\displaystyle ={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}$.

Оскільки справедливі рівності ${\displaystyle a+b+c=2p}$, ${\displaystyle a+b-c=2p-2c}$, ${\displaystyle a+c-b=2p-2b}$, ${\displaystyle c-a+b=2p-2a}$, отримуємо, що

${\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}$

Таким чином, ${\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

Доведення (геометричне)

Ілюстрація до доведення формули Герона за допомогою зовнівписаного кола

Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle w_{1}}$ та ${\displaystyle w_{2}}$ — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ${\displaystyle BC}$) коло відповідно, ${\displaystyle I}$ — центр вписаного кола ${\displaystyle w_{1}}$ (інцентр, точка перетину бісектрис), ${\displaystyle I_{a}}$ — центр зовнівписаного кола ${\displaystyle w_{2}}$ (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай ${\displaystyle K}$ — точка дотику вписаного кола до сторони ${\displaystyle AB}$, а ${\displaystyle T}$ — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони ${\displaystyle AB}$. Тоді ${\displaystyle IK=r}$ — радіус вписаного кола ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle I_{a}T=r_{a}}$ — радіус зовнівписаного кола ${\displaystyle w_{2}}$, і нехай ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ — півпериметр трикутника ${\displaystyle ABC}$..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що ${\displaystyle AK=p-a}$, ${\displaystyle KB=p-b}$, ${\displaystyle BT=p-c}$, a ${\displaystyle AT=p}$, причому ${\displaystyle IK\perp AB}$ та ${\displaystyle I_{a}T\perp AB}$.

Звідси маємо, що трикутники ${\displaystyle AIK}$ та ${\displaystyle AI_{a}T}$ подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ${\displaystyle \angle IAK}$). Тому ${\displaystyle {\frac {AK}{AT}}={\frac {IK}{I_{a}T}}}$, тобто ${\displaystyle {\frac {p-a}{p}}={\frac {r}{r_{a}}}}$. Звідси ${\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}$.

Знайдемо кут ${\displaystyle \angle BI_{a}T}$. Оскільки ${\displaystyle \bigtriangleup BI_{a}T}$ — прямокутний, то ${\displaystyle \angle BI_{a}T=90^{\circ }-\angle I_{a}BT}$. За побудовою ${\displaystyle BI_{a}}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle CBT=180^{\circ }-\angle B}$ (як зовнішній кут), а тому ${\displaystyle \angle I_{a}BT={\frac {\angle CBT}{2}}={\frac {180^{\circ }-\angle B}{2}}=90^{\circ }-{\frac {\angle B}{2}}}$. Звідси ${\displaystyle \angle BI_{a}T={\frac {\angle B}{2}}}$.

Але також ${\displaystyle \angle IBK={\frac {\angle B}{2}}}$, оскільки ${\displaystyle BI}$ — бісектриса кута ${\displaystyle \angle B}$. Отримали, що трикутники ${\displaystyle BI_{a}T}$ та ${\displaystyle IBK}$ подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому ${\displaystyle {\frac {I_{a}T}{BK}}={\frac {BT}{IK}}}$, тобто ${\displaystyle {\frac {r_{a}}{p-b}}={\frac {p-c}{r}}}$. Звідси ${\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}$.

З рівностей ${\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}$ одержимо, що ${\displaystyle S^{2}=p(p-a)r_{a}r}$. Замінивши ${\displaystyle r_{a}r}$ по вище доведеній формулі ${\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}$, одержимо остаточно ${\displaystyle S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)}$, або, що те саме, ${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

Варіації й узагальнення

• Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у вигляді^[1]:

  ${\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера^[en] для обчислення гіпероб'єму симплекса.

• Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$ і їх півсуму ${\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$^[2]:

${\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}$;

через довжини висот ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$ и ${\displaystyle h_{c}}$ і півсуму їх обернених величин ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$^[3]:

${\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}$;

через кут трикутника ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ і ${\displaystyle \gamma }$, півсуму їх синусів ${\displaystyle s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2}$ і діаметр описаного кола ${\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}}$^[4]:

${\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}$

Формула Герона — Тартальї

Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}$, то для його об'єму ${\displaystyle V}$ істинний вираз:

${\displaystyle {\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}}$.

Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро ${\displaystyle u}$ протлежне ребру ${\displaystyle U}$ і так далі), то справедливі формули^[5][6]:

${\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

де:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}}$.

Теорема Люїльє

За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони ${\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}$ как:

${\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$,

де ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — півпериметр.

Формула Брамагупти

Докладніше: Формула Брамагупти

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначник^[7]:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}$