Формула Гревіля

Формула Гревіля дозволяє обчислити псевдообернену матрицю ${\displaystyle \ A^{+}}$ для матриці ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ скінченним ітераційним способом.

На k-тій ітерації обчислюється ${\displaystyle A_{k}^{+},}$ де ${\displaystyle \ A_{k}}$ — матриця з перших k стовпців матриці ${\displaystyle \ A.}$

Запишемо ${\displaystyle \ A_{k}}$ у вигляді

${\displaystyle A_{k}={\begin{bmatrix}A_{k-1}&a_{k}\end{bmatrix}},}$

де

${\displaystyle \ a_{k}}$ — k-тий стовпець матриці ${\displaystyle \ A,\quad k={\overline {1,n}}.}$

Позначимо також:

${\displaystyle \ d_{k}=A_{k-1}^{+}a_{k}}$

${\displaystyle \ c_{k}=a_{k}-A_{k-1}d_{k}=(I_{m}-A_{k-1}A_{k-1}^{+})a_{k}}$

Тоді:

${\displaystyle A_{k}^{+}={\begin{bmatrix}A_{k-1}^{+}-d_{k}b_{k}^{*}\\b_{k}^{*}\end{bmatrix}},}$

де

${\displaystyle b_{k}^{*}=\left\{{\begin{matrix}c_{k}^{+},&c_{k}\neq 0;\\(1+d_{k}^{*}d_{k})^{-1}d_{k}^{*}A_{k-1}^{+},&c_{k}=0.\end{matrix}}\right.}$

Джерела

• Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436.
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)