Формула Діріхле

Формула Дирихле для числа дільників — асимптотична формула^[1]

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}\tau (n)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O({\sqrt {N}}),}$

де ${\displaystyle \tau (n)}$ — число дільників ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \gamma }$ — постійна Ейлера — Маськероні, а ${\displaystyle O}$ — O-велике.

Формула була отримана Діріхле в 1849.

Доведення

Доказ негайно випливає з того факту, що вказана сума дорівнює числу цілих точок з цілими позитивними координатами в області, обмеженою гіперболою ${\displaystyle yx=N}$ та осями координат.

Уточнення

В 1906 році доданок ${\displaystyle O\left(N^{\theta }\right)}$ був уточнений Серпінським до ${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$, тобто ${\displaystyle \theta =1/3}$^[1]. Зараз існують кращі оцінки. Найкращий відомий результат ${\displaystyle \theta ={\frac {131}{416}}}$ (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення ${\displaystyle \theta }$, при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$).^[2][1][3]

При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як ${\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}}$, що було виявлено А. Карацубою^[4]. З комп'ютерних оцінок М. Корольова${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067}$.