Формула Крофтона

Формула Крофтона — класичний результат інтегральної геометрії. Пов'язує довжину кривої із середнім числом перетинів з прямими.

Названа на честь Моргана Крофтона.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle \gamma }$ — плоска крива, яку можна спрямити. Для прямої ${\displaystyle l}$, позначимо через ${\displaystyle n_{\gamma }(l)}$ число точок, у яких ${\displaystyle \gamma }$ і ${\displaystyle l}$ перетинаются. Ми можемо параметризувати пряму ${\displaystyle l}$ напрямком ${\displaystyle \varphi }$ і відстанню ${\displaystyle p}$ від початку координат. Тоді довжина кривої ${\displaystyle \gamma }$ дорівнює

${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\,d\varphi \,dp.}$

При цьому диференціальна форма

${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$

інваріантна відносно рухів площини. Таким чином, вона дає природну міру для інтегрування.

Джерела

• Tabachnikov, Serge (2005). Geometry and Billiards. AMS. с. 36–40. ISBN 0-8218-3919-5.
• Santalo, L. A. (1953). Introduction to Integral Geometry. с. 12—13, 54. LCC QA641.S3.