Формула Ціолковського

Формула Ціолковського визначає швидкість, яку розвиває літальний апарат під впливом тяги ракетного двигуна, незмінною за напрямком, при відсутності всіх інших сил. Ця швидкість називається характеристичною.

${\displaystyle V=I\cdot \ln \left({\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)}$,

Рівняння Ціолковського

де:

${\displaystyle V}$ — кінцева (після використання всього палива) швидкість літального апарата;

${\displaystyle I}$ — питомий імпульс ракетного двигуна (відношення тяги двигуна до секундної витрати маси палива);

${\displaystyle M_{1}}$ — початкова маса літального апарата (корисне навантаження + конструкція апарата + паливо).

${\displaystyle M_{2}}$ — кінцева маса літального апарата (корисне навантаження + конструкція);

Ця формула була виведена К. Е. Ціолковським в рукописі «Ракета» 10 травня 1897 року (22 травня за григоріанським календарем).^[1]

Також зміну швидкості записують як:

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{sp}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$

де:

• ${\displaystyle v_{e}}$ — ефективна швидкість витоку (також дорівнює ${\displaystyle I_{sp}g_{0}}$);
• ${\displaystyle I_{sp}}$ — питомий імпульс у вимірі часу;
• ${\displaystyle g_{0}}$ — стандартна сила тяжіння;
• ${\displaystyle \ln }$ — функція натурального логарифма;
• ${\displaystyle m_{0}}$ — початкова загальна маса, включно з паливом, тобто маса вологого середовища;
• ${\displaystyle m_{f}}$ — кінцева загальна маса без палива, тобто суха маса.

Враховуючи ефективну швидкість витоку, визначену конструкцією ракетного двигуна, і бажане дельта-v (наприклад, орбітальна швидкість або швидкість виходу), для заданої сухої маси ${\displaystyle m_{f}}$ рівняння можна розв’язати для необхідної маси у вологому стані:

${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{e}}.}$

Тоді необхідна маса палива дорівнює:

${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta v/v_{e}}-1\right).}$

Необхідна волога маса зростає експоненціально зі збільшенням бажаного дельта-v.

Етапи

У випадку послідовно тяглових ступенів ракети рівняння застосовується для кожного ступеня, де для кожного ступеня початкова маса в рівнянні — це загальна маса ракети після відкидання попереднього ступеня, а кінцева маса в рівнянні — це загальна маса ракети безпосередньо перед відкиданням відповідного ступеня. Для кожного ступеня питомий імпульс змінюється.

Наприклад, якщо 80 % маси ракети становить паливо першого ступеня, а 10 % — суха маса першого ступеня, та 10 % — решта ракети, то

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln {\frac {100}{100-80}}=v_{e}\ln {5}=1.61v_{e}.}$

З трьома подібними ступенями, з іншим ${\displaystyle v_{e}}$ для кожного етапу:

${\displaystyle \Delta v=3v_{e}\ln {5}=4.83v_{e},}$

а корисне навантаження становить ${\displaystyle 10\%\times 10\%\times 10\%=0.1\%}$ від початкової маси.