Фрактальна послідовність

У математиці фрактальна послідовність — це така послідовність, яка містить саму себе як підпослідовність. Наприклад,

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Якщо перше входження кожного n видалити, послідовність, що залишилася, буде ідентичною початковій. Процес можна повторювати нескінченно довго, так що фактично початкова послідовність містить не одну свою копію, а нескінченну кількість.

Визначення

Точне визначення фрактальної послідовності залежить від визначення нескінченної послідовності: послідовність ${\displaystyle x=(x_{n})}$ є нескінченною послідовністю, якщо для кожного ${\displaystyle i}$,

(F1) ${\displaystyle x_{n}=i}$ для нескінченної кількості ${\displaystyle n}$.

Нехай ${\displaystyle a(i,j)}$ — ${\displaystyle j}$-й індекс ${\displaystyle n}$, для якого ${\displaystyle x_{n}=i}$. Нескінченна послідовність x є фрактальною послідовністю, якщо виконуються дві додаткові умови:

(F2) якщо ${\displaystyle i+1=x_{n}}$, то існує ${\displaystyle m<n}$ таке, що

${\displaystyle i=x_{m}}$

(F3) якщо ${\displaystyle h<i}$, то для кожного ${\displaystyle j}$ існує рівно одне ${\displaystyle k}$ таке, що

${\displaystyle a(i,j)<a(h,k)<a(i,j+1).}$

Відповідно до (F2), першому входженню кожного ${\displaystyle i>1}$ в ${\displaystyle x}$ повинно принаймні один раз передувати кожне з чисел ${\displaystyle 1,2,...,i-1}$, і, відповідно до (F3), між послідовними входженнями ${\displaystyle i}$ в ${\displaystyle x}$ кожне ${\displaystyle h}$, менше за ${\displaystyle i}$, зустрічається рівно один раз.

Приклад

Нехай ${\displaystyle \theta }$ — додатне ірраціональне число. Нехай

${\displaystyle S(\theta )=}$ множина чисел ${\displaystyle c+d\theta }$, де ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle d}$ — натуральні числа

і нехай

${\displaystyle c_{n}(\theta )+\theta d_{n}(\theta )}$

- послідовність, отримана упорядкуванням чисел S(θ) за зростанням. Послідовність ${\displaystyle c_{n}(\theta )}$ є сигнатурою ${\displaystyle \theta }$, і це фрактальна послідовність.

Наприклад, сигнатура золотого перетину (тобто ${\displaystyle \theta =(1+{\sqrt {5}})/2}$) починається з

1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, …,

а сигнатура ${\displaystyle 1/\theta =\theta -1}$ починається з

1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, …

Це послідовності  A084531 та  A084532 в Інтернет-енциклопедії цілих послідовностей.

Див. також

• Послідовність Ґулда
• Послідовність Морзе — Туе

Посилання

• Он-лайн енциклопедія цілочислових послідовностей :
  •  послідовність A002260 (трикутник T(n,k) = k для k = 1..n)
  •  послідовність A004736 (трикутник читається порядково: рядок n містить перші n натуральних чисел у порядку спадання)
  •  послідовність A003603 (фрактальна послідовність, отримана з чисел Фібоначчі (або масиву Вітгофа))
  •  послідовність A112382 (самоописувана фрактальна послідовність: послідовність містить кожне натуральне число)
  •  послідовність A122196 (фрактальна послідовність)
  •  послідовність A022446 (фрактальна послідовність дисперсії складених чисел)
  •  послідовність A022446 (фрактальна послідовність дисперсії складених чисел)
  •  послідовність A125158 (фрактальна послідовність, пов’язана з A125150)
  •  послідовність A125159 (фрактальна послідовність, пов’язана з A125151)
  •  послідовність A108712 (фрактальна послідовність: майже натуральні числа)

Література

• Kimberling, Clark (1997). Fractal sequences and interspersions. Ars Combinatoria. 45: 157—168. Zbl 0932.11016.