Функція Гайсера–Гіласа

Функція Гайсера–Гіласа — широко вживана у фізиці астрочастинок формула, яка наближено описує розподіл кількості частинок космічних променів вздовж напрямку руху атмосферної зливи. Функцію запропонували в 1977 році Томас Гайсер^[ru] і Ентоні Гілас^[d][1].

Кількість частинок ${\displaystyle N(X)}$ як функція пройденої глибини атмосфери ${\displaystyle X}$ виражається формулою

${\displaystyle N(X)=N_{\text{max}}\left({\frac {X-X_{0}}{X_{\text{max}}-X_{0}}}\right)^{\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}\exp \left({\frac {X_{\text{max}}-X}{\lambda }}\right),}$

де ${\displaystyle N_{\text{max}}}$ максимальна кількість частинок, що спостерігаються на глибині ${\displaystyle X_{\text{max}}}$, і ${\displaystyle X_{0}}$ і ${\displaystyle \lambda }$ є основними параметрами, що залежать від маси та енергії.

З використанням замін

${\displaystyle n={\frac {N}{N_{\text{max}}}}}$ ,     ${\displaystyle x={\frac {X-X_{0}}{\lambda }}}$     і     ${\displaystyle m={\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}}$,

функція може бути записана в альтернативній однопараметричній формі^[2]

${\displaystyle n(x)=\left({\frac {x}{m}}\right)^{m}\exp(m-x)={\frac {x^{m}\,e^{-x}}{m^{m}\,e^{-m}}}=\exp \left(m\,(\ln x-\ln m)-(x-m)\right)\,.}$