Функція Салема

Функція Салема є функцією розподілу випадкової величини ${\displaystyle \xi ={\frac {\xi _{1}}{2}}+{\frac {\xi _{2}}{2^{2}}}+\cdots ,}$ де ${\displaystyle \xi _{n}}$ — послідовність незалежних в сукупності випадкових величин, які набувають значень ${\displaystyle 0}$ та ${\displaystyle 1}$ з ймовірностями ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle 1-p}$ відповідно, де ${\displaystyle p\in \left(0;{\tfrac {1}{2}}\right)\cup \left({\tfrac {1}{2}};1\right).}$

Потрібно відмітити, що при ${\displaystyle p=0\Rightarrow \xi \in \mathrm {I} _{1},}$ тобто ${\displaystyle \xi }$ має вироджений розподіл з параметром ${\displaystyle 1}$ і відповідно ${\displaystyle p=1\Rightarrow \xi \in \mathrm {I} _{0}.}$ При ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ маємо ${\displaystyle \xi \in U_{[0;1]},}$ тобто ${\displaystyle \xi }$ має рівномірний розподіл на відрізку ${\displaystyle [0;1].}$

Актуальність

Функція Салема — одна із перших сингулярних строго зростаючих функцій на відрізку ${\displaystyle [0;1]}$^[1]. В деяких джерелах^[2] відповідну функцію називають функцією Салема-Такача. Це викликано тим, що Такач, у відповідному дослідженні^[3], розглядав аналогічну функцію для параметра ${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}.}$
Функція Салема є цікавою тим, що є одним з перших прикладів строго зростаючих функцій розподілу, існування яких було далеко незрозумілим та неочевидним всілякому загалу наукового рівня відповідного характеру. У зв'язку з чим навіть в роботах достатньо визнаного характеру^[4] зустрічалось означення сингулярної функції розподілу ймовірностей наступного типу: під сингулярною функцією розподілу ймовірностей розуміють функцію розподілу множина точок росту якої має міру Лебега 0.

Властивості

Для ${\displaystyle F_{\xi }(x)}$ виконуються такі властивості:

1) ${\displaystyle F_{\xi }(x)}$ сингулярна, тобто ${\displaystyle F_{\xi }^{'}(x)=0}$ майже скрізь в розумінні міри Лебега.

2) ${\displaystyle F_{\xi }(x)}$ строго зростає на відрізку ${\displaystyle [0;1].}$

3) Для функції Салема виконується наступна функціональна рівність ${\displaystyle F_{\xi }(x)=pF_{\xi }(2x)+(1-p)F_{\xi }(2x-1),}$ причому ${\displaystyle F_{\xi }(x)=}$ ${\displaystyle {\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x\geq 1.\end{cases}}}$

Відомо, що правильне обернене твердження: якщо неперервна функція ${\displaystyle \varphi (x)}$ задовольняє умови ${\displaystyle \varphi (x)=p\varphi (2x)+(1-p)\varphi (2x-1)}$ для деякого ${\displaystyle p\in \left(0;{\tfrac {1}{2}}\right)\cup \left({\tfrac {1}{2}};1\right)}$ і ${\displaystyle {\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x\geq 1,\end{cases}}}$ то ${\displaystyle \varphi (x)}$ є функцією Салема^[5].

4) ${\displaystyle F_{\xi }(x)}$ задовольняє умову Гьольдера з показником ${\displaystyle \lambda =\log _{2}\max\{p;1-p\},}$ який не можна покращити:

${\displaystyle |F_{\xi }(x_{1})+F_{\xi }(x_{2})|\leq C|x_{1}-x_{2}|^{\lambda },}$ ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in {\mathbb {R} },{\mathbb {C} }}$^[6].

5) Якщо ${\displaystyle N_{\infty }}$ — множина точок ${\displaystyle x\in [0;1]}$ таких, що ${\displaystyle F_{\xi }^{'}(x)=+\infty ,}$ то ${\displaystyle \alpha _{0}(N_{\infty })\geq -{\frac {\ln p^{p}(1-p)^{1-p}}{\ln _{2}}},}$ де ${\displaystyle \alpha _{0}}$ — розмірність Гаусдорфа-Безиковича^[7].

6) Якщо ${\displaystyle f_{\tau }(t)}$ — характеристична функція випадкової величини ${\displaystyle \tau ,}$ то ${\displaystyle L_{\xi }\geq \left(\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-4p\left(1-p\right)\sin {\tfrac {2\pi }{2^{n}}}\right)\right)^{\tfrac {1}{2}},}$ де ${\displaystyle L_{\xi }=\lim _{|t|\to +\infty }\sup |f_{\xi }(t)|}$^[8].