Функція Томе

Функція Томе — це визначена на множині дійсних чисел функція ${\displaystyle f(x)}$ від дійсної змінної ${\displaystyle x}$, що названа на честь Карла Йоганнеса Томе^[en]. Вона має багато назв: модифікована функція Діріхле, функція Рімана, краплева функція, лінійкова функція, Зірка Вавилона^[1]. Визначення можна записати так:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1&x=0\\\end{cases}}}$

Графік функції Томе на інтервалі (0,1). Показані всі раціональні точки із знаменником не більше 200.

У даному означенні вважається, що дріб ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ є нескоротним.

Властивості

• Функція Томе є неперервною в усіх ірраціональних точках і є розривною для всіх раціональних значень аргументів.

Справді, для будь-якого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ маємо

${\displaystyle \lim _{y\to x}f(y)=0.\,}$

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

• На відміну від функції Діріхле, функція Томе є інтегровною за Ріманом на будь-якій скінченній області інтегрування.

Справді, нехай Z  — деяке розбиття області інтегрування і ${\displaystyle \delta x_{i}<\lambda }$  — довжини проміжків розбиття. Позначимо також ${\displaystyle \omega _{i}}$ коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел, що записуються як нескоротний дріб із знаменниками ${\displaystyle q\leq N}$ де ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ є, очевидно, деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа, рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує ${\displaystyle 2k\lambda \,}$. На інших проміжках коливання функції є меншим ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$. Остаточно можемо записати:

${\displaystyle \sum \omega _{i}\delta _{i}<2k\lambda +{\frac {d}{N}}}$, де d   -- довжина області інтегрування.

Узявши N достатньо великим, а ${\displaystyle \lambda \,}$ достатньо малим, можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.

Див. також

• Функція Діріхле
• Евклідів сад — функцію Томе можна інтерпретувати, як перспективне зображення Евклідового саду