Фільтрація (випадкові процеси)

Фільтра́ція в теорії випадкових процесів - це неспадна множина σ-алгебр.

Визначення

Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ і підмножину дійсної прямої ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$. Множина σ-алгебр ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ така, що

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\quad s\leq t,\;s,t\in T}$,

називається фільтрацією ймовірнісного простору.

Природна фільтрація випадкового процесу

Нехай заданий випадковий процес ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$, визначений на деякому ймовірнісному просторі. Визначимо

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.}$.

Тоді множина ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}}$ є фільтрацією і називається природною фільтрацією випадкового процесу ${\displaystyle \{X_{t}\}}$.

Див. також

• Марковський процес
• Мартингал.

Література

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.
• A. N. Shiryayev: Probability. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 3-540-90898-6.