Фінслерова геометрія

Фінслерова геометрія — одне з узагальнень ріманової геометрії. У фінслеровій геометрії розглядаються многовиди з фінслеровим метричним тензором; тобто вибором гладкої норми на кожному дотичному просторі, яка гладко змінюється від точки до точки.

Основні поняття

Нехай ${\displaystyle M^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-вімірний зв'язаний ${\displaystyle C^{\infty }}$-многовид. Позначимо через ${\displaystyle TM^{n}}$ дотичне розшарування ${\displaystyle M^{n}}$. Тоді фінслеровою метрикою на ${\displaystyle M^{n}}$ називається функція ${\displaystyle F\colon TM^{n}\rightarrow [0,\infty )}$, що задовільняє властивостям:

1. ${\displaystyle F\in C^{\infty }(TM^{n}\setminus \{0\})}$ ;
2. ${\displaystyle F}$ додатньо однородна першої степени, тобто для будь-якої пари ${\displaystyle (x,y)\in TM^{n}}$ і числа ${\displaystyle \lambda >0}$,

   ${\displaystyle \ F(x,\lambda y)=\lambda F(x,y)}$;

3. Для будь-якої пари ${\displaystyle (x,y)\in TM^{n}}$ білінійна форма ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M^{n}\times T_{x}M^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$,

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}}\lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack |_{s=t=0}}$

додатньо визначена.

Джерела

• H. Rund. The Differential Geometry of Finsler Spaces, Springer-Verlag, 1959. ASIN B0006AWABG.