Часове упорядкування

Часовим або хронологічним упорядкуванням добутку польових операторів у квантовій теорії поля називають розміщення їх у порядку, коли оператори, що мають більшу часову компоненту стоять попереду операторів з меншою часовою компонентою ^[1]. Мета-оператор часового упорядкування позначається ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

де ${\displaystyle \theta }$ позначає сходинкову функцію Гевісайда, а вибір ${\displaystyle \pm }$ залежить від природи полів: від того чи є вони бозонними чи ферміонними. У разі бозонних полів береться знак +, а у випадку ферміонних знак залежить від числа перестановок, необхідних для того, щоб досягнути упорядкування.

Загалом, для добутку n польових операторів A₁(t₁), …, A_n(t_n) хронологічно впорядкований добуток має форму:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}}),}$

де ${\displaystyle \varepsilon (p)}$ дорівнює 1 для бозонів і залежить від числа перестановок для ферміонів.