Часовий переріз процесу

Поняття перерізу (часового перерізу) випадкового процесу є одним з ключових понять теорії випадкових процесів. Воно дає змогу говорити про випадковий процес не як про явище, що розвивається у часі, а дає змогу аналізувати цей процес у певний момент часу.

Визначення

Нехай ${\displaystyle \xi _{t}}$, ${\displaystyle t\in T}$ — випадковий процес. Зафіксуємо час t: ми отримаємо деяку випадкову величину. Ця випадкова величина називається часовим перерізом випадкового процесу у момент часу t.

Приклади

1. Нехай випадкова величина ξ розподілена нормально з параметрами 0 і 1, тобто ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi )=N(0,1)}$. Розглянемо випадковий процес ${\displaystyle \eta _{t}=t\xi }$. Його переріз у момент часу t=1 буде випадкова величина ${\displaystyle \eta _{1}}$, яка дорівнює ${\displaystyle \eta _{1}=1\cdot \xi =\xi }$, тому вона також матиме розподіл N(0,1). Знайдемо також розподіл перерізу випадкового процесу для моменту t=2: ${\displaystyle \eta _{2}=2\cdot \xi =2\xi }$, тобто випадкова величина ${\displaystyle \eta _{2}}$ має розподіл N(0,4) (ми скористалися такою властивістю випадкових величин, розподілених нормально: якщо ξ має розподіл ${\displaystyle N(a,\sigma ^{2})}$, то kξ має розподіл ${\displaystyle N(ka,k^{2}\sigma ^{2})}$.
2. Нехай випадкова величина ξ розподілена рівномірно на відрізку [-1,1], тобто ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi )=R(-1,1)}$. Як і в попередньому прикладі, розглянемо випадковий процес ${\displaystyle \eta _{t}=t\xi }$. Переріз цього випадкового процесу у момент часу ${\displaystyle t=t_{0}}$ являтиме собою випадкову величину ${\displaystyle t_{0}\cdot \xi }$, яка має розподіл ${\displaystyle R(-t_{0},t_{0})}$.

Див. також

• Портал «Математика»

• Випадковий процес

Література

1. С. Карлин. Основы теории случайных процессов. М. — 1971.