Чебишовський альтернанс

Чебишовський альтернанс (або просто альтернанс) — в математиці такий набір точок ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<...<t_{n}}$, в яких неперервна функція однієї змінної ${\displaystyle g(t)}$ послідовно приймає своє максимальне за модулем значення, при якому знаки функції в цих точках ${\displaystyle g(t_{1}),}$ ${\displaystyle g(t_{2}),...,}$ ${\displaystyle g(t_{n})}$ — чергуються.

Така конструкція вперше з'явилася в теоремі про характеризацію полінома найкращого наближення, відкритій П. Л. Чебишовим в XIX столітті. Сам термін альтернанс був введений І. П. Натансоном в 1950-і роки.

Теорема Чебишова про альтернанс

Для того, щоб многочлен ${\displaystyle p_{n}^{*}}$ був поліномом найкращого наближення неперервної функції ${\displaystyle x}$, необхідно і достатньо існування на ${\displaystyle [a,b]}$ принаймні ${\displaystyle n+2}$ точок ${\displaystyle t_{1}<...<t_{n+2}}$ таких що

${\displaystyle |x(t_{j})-p_{n}^{*}(t_{j})|=||x-p_{n}^{*}||,j=1,n+2}$ ${\displaystyle x(t_{j})-p_{n}^{*}(t_{j})=-(x(t_{j+1})-p_{n}^{*}{t_{(}j+1)}),j=1,n+1}$

Див. також

• Алгоритм Ремеза^[ru]
• Список об'єктів, названих на честь Пафнутія Чебишова

Джерела

• В. О. Гнатюк, Ю. В. Гнатюк, У. В. Гудима Модифікація методу січних площин на випадок апроксимації компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням // Математичне та комп'ютерне моделювання. — Серія «Фізико-математичні науки». — Випуск 1. — 2008. — С. 51—60.
• У. В. Гудима Апроксимація неперервного компактнозначного відображення чебишовським підпростором з додатковим обмеженням // Математичне та комп'ютерне моделювання. — Серія «Фізико-математичні науки». — Випуск 1. — 2008. — С. 88—96.