Числа Бернуллі

Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел ${\displaystyle B_{0},B_{1},B_{2},...}$ знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}C_{k+1}^{s}B_{s}N^{k+1-s}}$,

${\displaystyle B_{0}=1}$

${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}$

${\displaystyle B_{3}=0}$

${\displaystyle B_{4}=-{\frac {1}{30}}}$

${\displaystyle B_{5}=0}$

${\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}$

${\displaystyle B_{7}=0}$

${\displaystyle B_{8}=-{\frac {1}{30}}}$

${\displaystyle B_{9}=0}$

${\displaystyle B_{10}={\frac {5}{66}}}$

${\displaystyle B_{11}=0}$

${\displaystyle B_{12}=-{\frac {691}{2730}}}$

${\displaystyle B_{13}=0}$

${\displaystyle B_{14}={\frac {7}{6}}}$

${\displaystyle B_{15}=0}$

${\displaystyle B_{16}=-7{\frac {47}{510}}}$

де ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Формула для чисел Бернуллі

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула: ${\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} }$

Властивості

• Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім ${\displaystyle B_{1}}$, дорівнюють нулю, знаки ${\displaystyle B_{2n}}$ міняються.
• Числа Бернуллі є значеннями при ${\displaystyle x=0}$ многочленів Бернуллі: ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$.

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

• Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі:

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi }$,

• ${\displaystyle x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi }$,
• ${\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2}$.
• Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана ${\displaystyle \zeta (s)}$ при парних ${\displaystyle s=2m}$:

${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.}$

Із чого випливає

${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}$ для всіх n.

• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,n=1,2,...}$

У математиці, числа Бернуллі B_n є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є B_n = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B₁ = −1/2, але деякі автори використовують B₁ = +1/2 і деякі пишуть B_n для B_2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	−1/2	1/6	0	−1/30	0	1/42	0	−1/30	0	5/66	0	−691/2730	0	7/6

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році ^[1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi^[en] 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі

B_N = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B ₁ = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).