Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Числа Бернуллі

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Remove ads

Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

,

де  Біноміальний коефіцієнт.

Remove ads

Формула для чисел Бернуллі

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:

Remove ads

Властивості

Узагальнити
Перспектива
  • Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім , дорівнюють нулю, знаки міняються.
  • Числа Бернуллі є значеннями при многочленів Бернуллі: .

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

,
  • ,
  • .
  • Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана при парних :
Із чого випливає
для всіх n.

У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

Більше інформації n, Bn ...

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi[en] 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі

BN = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).

Remove ads

Примітки

Література

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads