Числа Каллена

В математиці числами Каллена називають натуральні числа виду ${\displaystyle n\cdot 2^{n}+1}$ (пишеться C_n). Числа Каллена вперше були досліджені Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — це особливий вид чисел Прота.

Властивості

В 1976 році Христофор Хулей (Christopher Hooley) показав, що для щільності послідовності додатних  цілих ${\displaystyle n\leq x}$, при яких C_n просте, існує o(x) для ${\displaystyle x\to \infty }$. В цьому сенсі майже всі числа Каллена складні. Доведення Христофора Хулей було перероблено математиком Хірмі Суяма, щоб показати, що воно вірне для будь-якої послідовності чисел ${\displaystyle n\cdot 2^{n+a}+b}$де a та b цілі числа, і частково також для чисел Вудала. Всі відомі прості числа Каллена відповідають n, рівному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (послідовність A005849 в OEIS). 

Є припущення, що існує нескінченно багато  простих чисел Каллена.

До серпня 2009, найбільшим відомим простим числом Каллена було ${\displaystyle 6679881\cdot 2^{6679881}+1}$. Це мегапросте число з 2 010 852 знаками було відкрито співучасником PrimeGrid з Японії.^[1]

Числа Каллена C_n ділятся на ${\displaystyle p=2n-1}$, якщо p просте число виду ${\displaystyle 8k-3}$. Це випливає з малої теореми Ферма, бо якщо p просте непарне, то p є дільником C_m(k) для кожного ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ (для k > 0). Було також показано, що просте число p є дільником ${\displaystyle C_{(p+1)/2}}$, коли символ Якобі ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ −1, і що p є дільником ${\displaystyle C_{(3p-1)/2}}$, коли символ Якобі ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ +1.

Невідомо, чи існує просте число p, таке що C_p також просте.

Узагальнення

Інколи узагальненими числами Каллена називають числа виду ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$, де n + 2 > b. Якщо просте число може бути записано в такій формі, його називають узагальненим простим числом Каллена. Числа Вудала інколи називають числами Каллена другого роду.

До лютого 2012 року найбільшим відомим узагальненим простим числом Каллена було ${\displaystyle 427194\cdot 113^{427194}+1}$. Воно має 877 069 знаків і було відкрито співучасником PrimeGrid з США.^[2]