Числа трибоначчі

Послідовність Трибоначчі — це нескінченна послідовність невід'ємних цілих чисел, перші три елементи якої — це нуль і дві одиниці. Сума трьох попередніх чисел визначає наступне число:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}&=0,\quad T_{1}=T_{2}=1,\\T_{n}&=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}.\end{aligned}}}$

Числа в цій послідовності називаються числами Трибоначчі.

Свою назву ця послідовність отримала як аналог послідовності Фібоначчі, лише для отримання члена цієї послідовності додаються не два, а три попередніх числа.

Перші числа Трибоначчі:

${\displaystyle 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 13,\ 24,\ 44,\ 81,\ 149,\ 274,\ 504,\ 927,\dots }$

Означення

Послідовність Трибоначчі ${\displaystyle T_{0},\ T_{1},\ T_{2},\dots }$ визначається рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}}$ для ${\displaystyle n\geq 3,}$

з початковими значеннями:

${\displaystyle T_{0}=0,\quad T_{1}=T_{2}=1.}$

Іншими словами:

• перші три числа — це один раз нуль та двічі одиниця;
• кожне наступне число є сумою трьох попередніх у послідовності.

З вимоги, що рекурсія

${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}}$

застосовується також до ${\displaystyle n\leq 2}$, випливає продовження для від'ємних індексів:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{-1}=0,\quad T_{-2}=1,\quad T_{-3}=-1,\quad T_{-4}=0,\quad T_{-5}=2,\quad T_{-6}=-3,\quad T_{-7}=1,\quad T_{-8}=4,\quad T_{-9}=-8,\quad T_{-10}=5.\end{aligned}}}$

Таким чином, послідовність у лівому напрямку:

${\displaystyle 5,\ -8,\ 4,\ 1,\ -3,\ 2,\ 0,\ -1,\ 1,\ 0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 13,\dots }$

Ця послідовність може бути узагальнена на комплексні числа, проскінченні цілі числа^[en], векторні простори тощо.

Матриця та константа

Послідовність Трибоначчі може бути згенерована такою матрицею:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

За допомогою піднесення цієї матриці до степеня цілого числа отримують числа Трибоначчі в першому та третьому стовпцях:

${\displaystyle M^{n}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}T_{n+1}&T_{n}+T_{n-1}&T_{n}\\T_{n}&T_{n-1}+T_{n-2}&T_{n-1}\\T_{n-1}&T_{n-2}+T_{n-3}&T_{n-2}\end{pmatrix}}.}$

Границя відношення сусідніх членів послідовності ${\displaystyle T_{n}}$ і ${\displaystyle T_{n+1}}$ визначає константу Трибоччі:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}=T_{\text{TRI}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}\approx 1{,}8392867552.}$

Ця константа також є дійсним власним значенням матриці ${\displaystyle M}$, а також розв’язком такого кубічного рівняння:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{3}-x^{2}-x-1=0,\\&x_{\text{дійсне}}=T_{\text{TRI}}.\end{aligned}}}$

Цей розв'язок можна також отримати за допомогою формул Кардано.

Рівняння для оберненої сталої Трибоначчі отримується за допомогою заміни ${\displaystyle y=x^{-1}}$ і має такий вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y^{3}+y^{2}+y-1=0,\\&y_{\text{дійсне}}={\frac {1}{T_{\text{TRI}}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}-{\frac {1}{3}}\approx 0{,}5436890127.\end{aligned}}}$

Явна формула

Число Трибоначчі ${\displaystyle T_{n}}$ можна обчислити за такою явною формулою за допомогою округлення до найближчого цілого числа:

${\displaystyle T_{n+1}=\left\lfloor {\frac {3\cdot \left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}\right)^{n}{\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}}{\left({\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\right)^{2}+4-2{\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}}}\right\rceil .}$

Див. також

• Узагальнення чисел Фібоначчі
• Послідовність Фібоначчі

Література

• K. Atanassov, J. Hlebarova, S. Mihov, "Recurrent formulas of the generalized Fibonacci and Tribonacci sequences" The Fibonacci Quart. , 30 : 1 (1992) стр. 77–79
• J.-Z. Lee, J.-S. Lee, "Some properties of the generalization of the Fibonacci sequence" The Fibonacci Quart. , 25 : 2 (1987) стр. 111–117
• Finch, S. R. "Mathematical Constants" Cambridge, England: Cambridge University Press : 3 (2003) стр. 9

Зовнішні лінки

• Yüksel Soykan: Matrix Sequences of Tribonacci and Tribonacci-Lucas Numbers
• brilliant.org
• Tribonacci Numbers
• Yüksel Soykan: Tribonacci and Tribonacci-Lucas Sedenions MDPI
• Nurettin Irmak, Murat Alp: Tribonacci numbers with indices in arithmetic progression and their sums Miskolc Mathematical Notes, Vol. 14, 2013, Nr. 1, S. 5–133