E₈ (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: E8.

В математиці, ${\displaystyle E_{8}}$ — найбільша особлива проста група Лі. ${\displaystyle E_{8}}$ була відкрита Вільгельмом Кіллінгом в 1888—1890 роках, а сучасне її позначення прийшло з класифікації простих алгебр Лі, яку уведи Елі Картан і Вільгельм Кіллінг. Класифікація виділяє чотири нескінченних сімейства простих алгебр Лі, які позначаються ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, і п'ять особливих випадків, які позначаються E₆, E₇, E₈, F₄ і G₂.

Граф поліедра ${\displaystyle \scriptstyle {E_{8}}}$

Опис

${\displaystyle E_{8}}$ має ранг 8 і розмірність 248 (як многовид). Вектори системи коренів визначені у восьми вимірах.

Схема Динкіна

Схема Динкіна для E₈ має вид

Ця схема коротко описує будову системи коренів. Кожен вузол схеми являє собою простий корінь. Лінія, що з'єднує два простих кореня, означає, що вони знаходяться під кутом 120° один до одного. Два простих кореня, що не з'єднані лінією, ортогональні.

Матриця Картана

Матриця Картана системи коренів порядку r — це матриця ${\displaystyle r\times r}$, елементи якої визначаються простими коренями в такий спосіб:

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}}$

де ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ — евклідовий скалярний добуток, а ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — прості корені. Елементи матриці не залежать від вибору простих коренів (з точністю до порядку).

Матриця Картана для E₈ має вид

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

Визначник цієї матриці дорівнює 1.

Посилання

• «Ну очень большой результат», Компьютерра, Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• «В 248-мерное пространство прорвались теоретики» [Архівовано 3 квітня 2019 у Wayback Machine.], Cnews, 20 марта 2007 года