F-простір

У математиці, лінійний метричний простір ${\displaystyle V}$ називають F-простором (простором типу F), якщо виконані наступні умови:

1. Множення на скаляр в ${\displaystyle V}$ як відображення ${\displaystyle (\alpha ,x)\to \alpha x}$, де ${\displaystyle x\in V}$, а ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, неперервно за метрикою ${\displaystyle V}$ при фіксованому ${\displaystyle \alpha }$ і стандартній метриці ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$ при фіксованому ${\displaystyle x}$
2. Метрика ${\displaystyle V}$ інваріантна щодо зсувів, тобто ${\displaystyle \rho (x,y)=\rho (x-y,0)}$.
3. Метричний простір ${\displaystyle (V,\rho )}$ є повним.

Деякі автори називають ці простори просторами Фреше, але зазвичай під просторами Фреше розуміються локально опуклі F-простори.

Справедлива теорема: всякий F-простір є топологічним векторним простором.^[1]

Приклади

• Усі Банахові простори і простори Фреше відносяться до F-просторів.
  • Зокрема, простори Lp при ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ є F-просторами.