NP-повна задача

NP-повна задача (англ. NP-complete) — в теорії алгоритмів та теорії складності це задача, що належить до класу NP та всі задачі з класу NP можна звести до неї за поліноміальний час.^[1]

Діаграма Венна відношення між класами складності задач (у випадку вірності гіпотези P ≠ NP).

Формальне визначення

Нехай ${\displaystyle L}$ — мова (проблема) що належить до класу NP. Мова ${\displaystyle L}$ називається NP-повною якщо виконуються такі умови:

1. ${\displaystyle L}$ належить до NP.
2. Для довільної мови ${\displaystyle L'}$ в NP існує зведення до ${\displaystyle L}$ за поліноміальний час.^[2]

Якщо довільний окремий випадок задачі ${\displaystyle L_{1}}$ можна перетворити в деякий окремий випадок задачі ${\displaystyle L_{2}}$ в такий спосіб, що розв'язок задачі ${\displaystyle L_{1}}$ можна отримати за поліноміальний час від розв'язку задачі ${\displaystyle L_{2}}$ то кажуть, що ${\displaystyle L_{1}}$ зводиться до ${\displaystyle L_{2}}$.^[1]

Якщо P ≠ NP, то всі NP-повні проблеми знаходяться в множині NP — P, через це доведення NP-повноти задачі можна розглядати як додатковий аргумент на користь того, що проблема не належить до класу P і для неї не існує точного поліноміального алгоритму.

NP-повнота в сильному сенсі

Задача називається NP-повною в сильному сенсі, якщо у неї існує підзадача, яка:

1. Не є задачею з числовими параметрами (тобто максимальне значення величин, що зустрічаються в цій задачі, обмежено зверху поліномом від довжини входу),
2. Належить до класу NP,
3. Є NP-повною.

Клас таких задач називається NPCS. Якщо гіпотеза P ≠ NP справедлива, то для NPCS задач не існує псевдополіноміального алгоритму.

Гіпотеза P ≠ NP

Рівність класів P і NP вже понад 30 років є відкритою проблемою. Наукове співтовариство схиляється до негативного вирішення цього питання — у цьому випадку за поліноміальний час вирішувати NP-повні задачі не вдасться.

Приклади

Докладніше: Список NP-повних задач

• Задача комівояжера.
• Задача здійсненності бульових формул.

Див. також

Список класів складності Клас складності P

NP-складна задача Комбінаторика Еволюційний алгоритм