Q-функція Маркума

У статистиці Q-функція Маркума ${\displaystyle Q_{M}}$ визначається як

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx}$

або як

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)}$

де ${\displaystyle I_{M-1}}$ модифікована функція Бесселя порядку М − 1. Q-функція Маркума використовується, наприклад, як функція розподілу (точніше, як функція виживання) для нецентрованого хі розподілу, нецентрованого хі-квадрат розподілу та розподілу Райса.

Для нецілих значень M Q-функцію можна визначити наступним чином^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle P(s,x)}$ - регуляризована гамма-функція.

Q-функція Маркума є монотонною та логарифмічно ввігнутою^[2].