Z-перетворення

Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти ${\displaystyle E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}}$, тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.

Визначення

Дискретна функція ${\displaystyle x(t)}$ є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу ${\displaystyle t=lT\,\,(l=0,1,2,...).}$Таку функцію можна записати у вигляді ${\displaystyle x[lT],}$ де ${\displaystyle t}$ - неперервна змінна. Ця функція ${\displaystyle x[lT]}$ характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу) ${\displaystyle x(t)}$ й примає її значення у моменти ${\displaystyle t=lT\,\,(l=0,1,2,...).}$ Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція ${\displaystyle x[(l+\varepsilon )T]\,\,(0<\varepsilon <1),}$ яка приймає значення неперервної функції у моменти ${\displaystyle t=(l+\varepsilon )T\,\,(l=0,1,2,...).}$

${\displaystyle z}$-перетворення - це співвідношення^[1]

${\displaystyle X(z)=\sum _{l=0}^{\infty }x[lT]z^{-l},}$

яке ставить у відповідність дискретній функції ${\displaystyle x[lT]}$ функцію комплексної змінної ${\displaystyle X(z).}$ При цьому ${\displaystyle x[lT]}$ називається оригіналом, а ${\displaystyle X(z)}$ - зображенням або ${\displaystyle z}$-зображенням.

${\displaystyle z}$-перетворення також умовно записується у вигляді

${\displaystyle X(z)=Z\{x[lT]\},}$

а зворотне ${\displaystyle z}$-перетворення - у вигляді

${\displaystyle x[lT]=Z^{-1}\{X(z)\}.}$

${\displaystyle z}$-перетворення із зміщеною ґратчастою функцією ${\displaystyle x[(l+\varepsilon )T]z^{-l},}$ тобто співвідношення

${\displaystyle X(z,\varepsilon )=\sum _{l=0}^{\infty }x[(l+\varepsilon )T]z^{-1},}$

називають модифікованим ${\displaystyle z}$-перетворенням. Це перетворення також записується у вигляді

${\displaystyle X(z,\varepsilon )=Z\{x[(l+\varepsilon )T]\}=Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}.}$

Наприклад, нехай потрібно визначити ${\displaystyle z}$-зображенням зміщеної ґратчастої функції ${\displaystyle x[lT]=1[lT]}$ та зміщеної ґратчастої функції ${\displaystyle x[(l+\varepsilon )T]=1[(l+\varepsilon )T].}$ Оскільки за усіх ${\displaystyle l\geq 0\quad 1[lT]=1[(l+\varepsilon )T]=1,}$ то

${\displaystyle X(z)=X(z,\varepsilon )=\sum _{l=0}^{\infty }z^{-l}.}$

По формулі нескінченно спадаючої геометричної прогресії

${\displaystyle Z\{1[lT]\}=Z\{1[(l+\varepsilon )T]\}={\frac {1}{1-z^{-1}}}={\frac {z}{z-1}}\quad (|z|>1).}$

Властивості

• існують додатні числа ${\displaystyle M}$ та ${\displaystyle q}$ такі, що ${\displaystyle |x[lT]|<Mq^{t}\quad (\forall l\geq 0);}$
• ${\displaystyle x[lT]=0\quad (\forall l<0).}$

Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей ${\displaystyle z}$-перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають функціями-оригіналами.

1. Лінійність. Модифіковане ${\displaystyle z}$-перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих ${\displaystyle z}$-перетворень: ${\displaystyle Z{\begin{Bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}[(l+\varepsilon )T]\end{Bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}Z\{x_{i}[(l+\varepsilon )T]\}.}$Тут ${\displaystyle a_{i}\quad (i={\overline {1,n}})}$ - константи.
2. Запізнювання. Модифіковане ${\displaystyle z}$-перетворення від функції із запізнюваним аргументом ${\displaystyle x[(l-m)T]}$ визначається як: ${\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l-m)T]\}=z^{-m}Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}=z^{-m}X(z,\varepsilon ).}$
3. Випередження. Модифіковане ${\displaystyle z}$-перетворення від функції із випереджуючим аргументом ${\displaystyle x[(l+m)T]}$ визначається як: ${\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}{\begin{bmatrix}X(z,\varepsilon )-\sum _{k=0}^{m-1}x[(x+\varepsilon )T]z^{-k}\end{bmatrix}}.}$Якщо ${\displaystyle x[\varepsilon T]=x[(1+\varepsilon )T]=...=x[(m-1+\varepsilon )T]=0}$(початкові умови нульові), то ${\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}X(z,\varepsilon ).}$
4. Згортання. Добуток зображень ${\displaystyle X_{1}(z,\varepsilon )}$ та ${\displaystyle X_{2}(z,\varepsilon )}$ дорівнює ${\displaystyle z}$-перетворенню від згортання їх оригіналів ${\displaystyle x_{1}[(l+\varepsilon )T]}$ та ${\displaystyle x_{2}[(l+\varepsilon )T]}$: ${\displaystyle X_{1}(z,\varepsilon )X_{2}(z,\varepsilon )=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{1}[(k+\varepsilon )T]x_{2}(l-k+\varepsilon )T\}=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{2}[(k+\varepsilon )T]x_{1}[(l-k+\varepsilon )T]\}.}$
5. Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції ${\displaystyle x[lT]}$ по її звичайному та модифікованому ${\displaystyle z}$-зображенню визначається як: ${\displaystyle x[\varepsilon T]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z,\varepsilon ),\quad x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z).}$ Границя ${\displaystyle z(\infty )=\lim _{l\rightarrow \infty }x[lT]}$ за умови, що вона існує, визначається як: ${\displaystyle x(\infty )=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z,\varepsilon )=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z).}$

Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.

Двостороннє Z-перетворення

Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:

${\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$.

де n — ціле, z — комплексне число.

${\displaystyle z=Ae^{j\varphi }}$,

де A — амплітуда, а ${\displaystyle \varphi }$ — кутова частота (у радіанах на відлік)

Одностороннє Z-перетворення

У випадках, коли x [n] визначена тільки для ${\displaystyle n\geqslant 0}$, одностороннє Z-перетворення задається як:

${\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$.

Зворотне Z-перетворення

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

${\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz}$,

де C — контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).

Поклавши в попередній формулі ${\displaystyle z=re^{j\varphi }}$, отримаємо еквівалентне визначення: ${\displaystyle x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .}$

Таблиця деяких Z-перетворень

Позначення:

• ${\displaystyle \theta [n]}$ --- функція Гевісайда.
• ${\displaystyle \delta [n]}$ --- дельта-функція Дірака.

	Сигнал, ${\displaystyle x[n]}$	Z-перетворення, ${\displaystyle X(z)}$	Область збіжності
1	${\displaystyle \delta [n]\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \forall z\,}$
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{z^{n_{0}}}}}$	${\displaystyle z\neq 0\,}$
3	${\displaystyle \theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
4	${\displaystyle a^{n}\theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
5	${\displaystyle na^{n}\theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
6	${\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
7	${\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|\,}$
8	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
9	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
10	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$
11	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|\,}$

Див. також

• Перетворення Лапласа
• Ґратчаста функція