Випадкова матриця

Випадкова матриця — матриця, елементи якої розподілені випадковим чином. Як правило, задається закон розподілу елементів. У теорії випадкових матриць вивчається статистика власних значень випадкових матриць, а іноді також статистика їх власних векторів.

Гауссові ансамблі

Найчастіше досліджують гауссові ансамблі випадкових матриць.

Гаусовий унітарний ансамбль GUE(n) описується Гауссовою мірою з густиною

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}}$

на просторі n × n ермітових матриць H = (H_ij)ⁿ
_i,j=1. Тут Z_GUE(n) = 2^n/2 π^n2/2 — стала нормування, вибрана щоби інтеграл по густині дорівнював одиниці. Слово унітарний позначає факт, що розподіл інваріантний щодо унітарних перетворень. Гаусовий унітарний ансамбль моделює гамільтоніани без T-інваріантності.

Гаусовий ортогональний ансамбль GOE(n) описується Гауссовою мірою з густиною

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}}$

на просторі n × n дійсних симетричних матриць H = (H_ij)ⁿ
_i,j=1. Їх розподіл інваріантний щодо ортогональних перетворень і моделює гамільтоніани з T-інваріантністю.

Література

• Mehta M. L.. Random Matrices. — 3rd ed. — New York : Academic Press, 1991.