Теорія груп
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Теорія груп — розділ математики, який вивчає властивості груп. Група — це алгебраїчна структура з двомісною операцією, і для цієї операції виконуються такі властивості: асоціативність, існування нейтрального елемента, існування оберненого елемента.
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. |
Поняття групи є узагальненням понять група симетрій, група перестановок.
Часто група може являти собою множину всіх перетворень (симетрій) деякої структури, оскільки результатом послідовного застосування двох перетворень (композицією) буде знову деяке перетворення, також можливі обернені перетворення, нейтральним елементом вважається відсутність перетворень.
Наприклад, в кубика Рубика множина всіх трансформацій (що можливі за рахунок повороту граней) є групою, оскільки дві послідовні трансформації утворюють нову трансформацію, для кожної трансформації існує обернена, нейтральний елемент — відсутність трансформацій.
Особливу корисність абстрактне поняття групи отримує завдяки властивості гомоморфізму, тобто такому зв'язку між різними групами, при якому групова операція зберігається. Гомоморфні групи різноманітної природи мають однакові властивості, і вивчення однієї групи можна замінити вивченням іншої. Наприклад, група поворотів тривимірного тіла гомоморфна групі спеціальних ортогональних матриць 3x3, груповою операцією якої є множення матриць (див. Матриці повороту). Завдяки гомоморфізму теорія груп знайшла широке застосування в різноманітних галузях математики й фізики, оскільки дозволяє виділити спільні риси в об'єктах дуже різноманітної природи.