Cho một dãy vô hạn tổng thành phần thứ n của nó Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi. Tức là,
Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng thành phần của nó hội tụ đến một giới hạn; điều đó có nghĩa là các tổng thành phần dần dần tiến gần hơn và gần hơn đến một số xác định.
Chính xác hơn, một chuỗi là hội tụ, nếu tồn tại một số xác định sao cho với mỗi số dương nhỏ tùy ý , tồn tại một số nguyên (đủ lớn) , sao cho với mọi ,
Nếu chuỗi hội tụ, số (nhất thiết phải là duy nhất) được gọi là tổng của chuỗi.
Bất kỳ chuỗi nào không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi phân kỳ (cũng được gọi là chuỗi điều hòa):
Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi hội tụ (chuỗi điều hòa đan dấu):
Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên tố là một chuỗi phân kỳ:
Chuỗi nghịch đảo của các số tam giác là một chuỗi hội tụ:
Chuỗi nghịch đảo của các giai thừa là một chuỗi hội tụ (xem e):
Chuỗi nghịch đảo của các số chính phương là một chuỗi hội tụ (bài toán Basel):
Chuỗi nghịch đảo của các lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ:
Chuỗi nghịch đảo các lũy thừa cơ số n là một chuỗi hội tụ:
Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ:
Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số n là một chuội hội tụ:
Chuỗi nghịch đảo của các số Fibonacci là một chuỗi hội tụ (xem ψ):
Có một số phương pháp xác định xem một chuỗi hội tụ hay phân kỳ, được gọi là các tiêu chuẩn hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh. Nếu,
với mọi n, và hội tụ, thế thì hội tụ.
Nếu,
với mọi n, và phân kỳ, thế thì phân kỳ.
Tiêu chuẩn D'Alembert (hay tiêu chuẩn tỷ lệ). Giả sử rằng với mọi n, khác 0. Giả sử tồn tại sao cho
Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn D'Alembert không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.
Tiêu chuẩn Cauchy (hay tiêu chuẩn căn thức). Giả sử rằng các số hạng của chuỗi là không âm. Xác định r như sau:
Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.
Điều này có nghĩa là (theo dấu hiệu so sánh) nếu hội tụ, thì cũng phải hội tụ (nhưng đảo lại không đúng).
Nếu chuỗi hội tụ, thì được gọi là hội tụ tuyệt đối. Một dãy hội tụ tuyệt đối là dãy mà độ dài đoạn thẳng tạo ra khi nối lại tất cả các phần tăng thêm của tổng riêng có độ dài hữu hạn. Chuỗi lũy thừa của hàm mũ hội tụ tuyệt đối ở mọi nơi.
Nếu chuỗi hội tụ nhưng chuỗi lại phân kỳ, thì chuỗi là hội tụ có điều kiện. Đoạn đường tạo ra khi nối các tổng riêng của một chuỗi hội tụ có điều kiện có độ dài vô hạn. Thí dụ, chuỗi lũy thừa của hàm logarit là hội tụ có điều kiện.
Định lỹ chuỗi Riemann khẳng định rằng nếu một chuỗi hội tụ có điều kiện, có thể đổi chỗ các số hạng trong chuỗi theo một cách sao cho chuỗi hội tụ đến giá trị tùy ý, hay thậm chí là phân kỳ.
Bài chi tiết: Hội tụ đều
Cho là một dãy các hàm số. Chuỗi được gọi là hội tụ đều đến f nếu dãy các tổng riêng xác định bởi
hội tụ đều đến f.
Có một tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi hàm vô hạn giống với tiêu chuẩn so sánh trên, được gọi là Dấu hiệu M Weierstrass.